수학 에서 급수 (級數, 영어 : series , ∑an )는 수열 의 모든 항을 더한 것, 즉 수열의 합 이다. 항의 개수가 유한한 유한급수 (有限級數, 영어 : finite series )와 항의 개수가 무한한 무한급수 (無限級數, 영어 : infinite series )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수 와 그렇지 않은 발산 급수 로 분류된다. 산술급수 , 기하급수 (등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 실수 · 복소수 , 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식 이나 알고리즘 으로 표현된다. 유한급수는 대수학 의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학 적 수단, 특히 극한 의 개념을 필요로 한다.
수열 의 합 에는 Σ (시그마, sigma) 기호가 쓰인다.
수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
∑
n
=
0
∞
a
n
=
a
0
+
a
1
+
a
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
부분합 (部分合, 영어 : partial sum )
∑
n
=
0
N
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}}
∑
n
=
0
N
a
n
=
a
0
+
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
N
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}
부분합의 수열
(
∑
n
=
0
N
a
n
)
N
=
0
∞
{\displaystyle \textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N=0}^{\infty }}
수렴급수 발산 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
합 은 그 부분합의 극한 이며, 이 역시
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
∑
n
=
0
∞
a
n
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
0
N
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}
∑
n
=
0
∞
|
a
n
|
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}
절대 수렴급수 조건 수렴급수
가산 무한 집합
I
{\displaystyle I}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
I
{\displaystyle I}
일대일 대응
i
:
N
→
I
{\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I}
a
:
I
→
R
{\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} }
∑
i
∈
I
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}
∑
i
∈
I
a
i
=
∑
n
=
0
∞
a
i
n
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{i_{n}}}
다만, 이 정의가 유효하려면, 급수
∑
i
∈
I
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
절대 수렴 한다면, 다른 모든
i
{\displaystyle i}
∑
i
∈
I
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}
i
{\displaystyle i}
조건 수렴 한다면, 다른 합을 갖게 되는
i
{\displaystyle i}
리만 재배열 정리 에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록
i
{\displaystyle i}
임의의 집합(특히 비가산 집합 )
I
{\displaystyle I}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
a
i
≥
0
{\displaystyle a_{i}\geq 0}
∑
i
∈
I
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}
∑
i
∈
I
a
i
=
sup
J
⊂
I
,
|
J
|
<
∞
∑
i
∈
J
a
i
≤
∞
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,|J|<\infty }\sum _{i\in J}a_{i}\leq \infty }
이때 집합
I
′
=
{
i
∈
I
:
a
i
≠
0
}
{\displaystyle I'=\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}}
비가산 집합 이면
∑
i
∈
I
a
i
=
∞
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\infty }
∑
i
∈
I
a
i
<
∞
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}<\infty }
I
′
=
⋃
n
=
0
∞
{
i
∈
I
:
a
i
>
1
n
}
{\displaystyle I'=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}}
이며
|
{
i
∈
I
:
a
i
>
1
n
}
|
<
n
∑
i
∈
I
a
i
<
∞
(
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle \left|\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}\right|<n\sum _{i\in I}a_{i}<\infty \qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}
이므로,
I
′
{\displaystyle I'}
합집합 이 되어 가산 집합 이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수
a
:
I
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]}
∑
i
∈
I
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}
∑
i
∈
I
a
i
=
∑
i
∈
I
′
a
i
{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{i\in I'}a_{i}}
급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법 이 존재한다.
수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수 라고 한다.
예를 들어, 0이 아닌 상수
c
{\displaystyle c}
∑
n
=
0
∞
c
=
c
+
c
+
c
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c=c+c+c+\cdots }
는 발산 급수이다.
또한 다음의 조화급수 역시 발산한다.
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots }
=
1
1
+
(
1
2
)
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
+
⋯
{\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots }
>
1
1
+
(
1
2
)
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
+
⋯
{\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots }
=
1
1
+
(
1
2
)
+
(
1
2
)
+
(
1
2
)
+
⋯
{\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots }
=
1
+
0.5
+
0.5
+
0.5
+
0.5
+
⋯
{\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots }
=
1
+
1
+
1
+
⋯
{\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots }
∴
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
⋯
>
1
+
1
+
1
+
⋯
{\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots }
또한 이것은 아래의 리만 제타 함수
ζ
(
1
)
{\displaystyle \zeta (1)}
1
1
1
+
1
2
1
+
1
3
1
+
1
4
1
+
1
5
1
+
1
6
1
+
1
7
1
+
1
8
1
+
⋯
{\displaystyle {1 \over 1^{1}}+{1 \over 2^{1}}+{1 \over 3^{1}}+{1 \over 4^{1}}+{1 \over 5^{1}}+{1 \over 6^{1}}+{1 \over 7^{1}}+{1 \over 8^{1}}+\cdots }
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수 라고 한다.
예를 들어, 교대급수
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }
는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수 는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
∑
n
=
0
∞
|
a
n
|
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}
절대 수렴급수 라고 한다.
예를 들어, 기하급수
∑
n
=
0
∞
(
−
1
2
)
n
=
1
−
1
2
+
1
4
−
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }
는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한
∑
n
=
0
∞
(
1
2
)
n
=
1
+
1
2
+
1
4
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.
(n 항판정법n →∞an = 0이지 않으면, ∑an 은 발산한다.
(비교판정법 ) 궁극적으로 |an | ≤ |bn |인 경우, ∑bn 이 절대수렴하면 ∑an 도 절대수렴하며, ∑an 이 절대수렴하지 않으면 ∑bn 도 절대수렴하지 않는다.
(비판정법 ) 만약 궁극적으로 |an + 1 | / |an | q 이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an 은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an + 1 | / |an | q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an 은 절대수렴하지 않는다.
(근판정법 ) 만약 궁극적으로 |an | 1 / n q 이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an 은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an |1 / n q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an 은 절대수렴하지 않는다.
(적분판정법 ) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n ) = an (n = 1, 2, ...)이면, ∑an 과 ∫ ∞ f (x )dx 는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(코시 응집판정법 ) an 이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑an 과 ∑2k a 2k 은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(교대급수판정법 ) 만약 an 이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)n an
(디니 판정법 ) 
![{\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65827dd1fa4258fcca630877f86d32a70b718c5f)
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