대수적 수체

대수적 수론에서 대수적 수체(代數的數體, 영어: algebraic number field), 줄여서 수체(數體, 영어: number field)는 유리수체 $\mathbb {Q}$의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.

정의

대수적 수체 $K$는 유리수체 $\mathbb {Q}$의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.

자리

오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 수체 $K$ 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.

• 실수로의 매장 $\iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$에 대하여, $|\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota$. 여기서 $|\cdot |_{\mathbb {R} }$는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실수 무한 자리(實數無限-, 영어: real infinite place)라고 한다.
• 복소수로의 매장 $\iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$에 대하여 ($\iota (K)\not \subset \mathbb {R}$), $|\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota$. 여기서 $|\cdot |_{\mathbb {C} }$는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, $\iota$와 ${\bar {\iota }}$는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소수 무한 자리(複素數無限-, 영어: complex infinite place)라고 한다.
• 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, ${\mathfrak {p}}$진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(有限-, 영어: finite place)라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 ${\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$로의 매장과 대응한다. 즉, ${\mathfrak {p}}\mid (p)$라면, ${\mathfrak {p}}$진 자리는 매장 $K\hookrightarrow {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$을 정의하며, 절대 갈루아 군 $\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})$의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

• 자명 자리 $|\cdot |_{0}$
• 소수 $p$에 대하여, $p$진 자리 $|\cdot |_{p}$
• 하나의 실 무한 자리 $|\cdot |_{\infty }$

수체 $K$에서, 실수 자리의 수를 $r_{1}$, 복소수 자리의 수를 $r_{2}$라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.

$[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}$

이는 $K$에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)

대수적 수체 $K$는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식(영어: product formula)이 성립한다.^{:185, Proposition III.1.3}

$\prod _{v}|a|_{v}=1,\forall a\in K^{\times }$

여기서 $\textstyle \prod _{v}$는 $K$의 모든 자리에 대한 곱이며, $|-|_{v}$는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수

$a=s\prod _{p}p^{n_{p}},\;s\in \{\pm 1\}$

의 경우

$|a|_{\infty }=\prod _{p}p^{n_{p}}$

$|a|_{p}=p^{-n_{p}}$

이므로

$|a|_{\infty }|a|_{2}|a|_{3}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{-n_{p}}=1$

이다.

수체의 대수적 성질

가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.

모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.

• 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 $r_{1}+2r_{2}$와 같다 ($r_{1}$은 실수 자리의 수, $r_{2}$는 복소수 자리의 수).
• 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다.

그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다.

대수적 수체 $K$에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 ${\hat {K}}$는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.

${\hat {K}}\cong \mathbb {A} _{K}/K$

대수적 정수환의 덧셈 구조

 대수적 정수 문서를 참고하십시오.

대수적 수체 $K$의 대수적 정수환(代數的整數環, 영어: ring of algebraic integers) ${\mathcal {O}}_{K}$는 $\mathbb {Z} \subset K$의, $K$ 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.

${\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}$

이는 $K$의 부분환을 이룬다.

대수적 수체 $K$의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.^:192

모든 대수적 수체 $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\mathcal {O}}_{K}$는 정수적으로 닫힌 정역이다.
• ${\mathcal {O}}_{K}$는 뇌터 환이다.
• 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다.

대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 $K$에서, 다음이 성립한다.

${\mathcal {O}}_{K}\cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z}$

$K=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}$

여기서 $\operatorname {Frac}$은 분수체를 뜻한다.

정수 기저

대수적 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 $K/\mathbb {Q}$의 차수와 같다.

$\operatorname {rank} {\mathcal {O}}_{K}=[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}(K)+2r_{2}(K)$

차수 n의 수체 $K$의 정수 기저(영어: integral basis)는 ${\mathcal {O}}_{K}$의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$이다. 따라서 $K$의 모든 대수적 정수들을

$\sum _{i=1}^{n}k_{i}b_{i}$ ($k_{i}\in \mathbb {Z}$)

로 유일하게 나타낼 수 있고, $K$의 모든 원소들을

$\sum _{i=1}^{n}r_{i}b_{i}$ ($r_{i}\in \mathbb {Q}$)

의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가

$b_{i}=b_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r_{1}+2r_{2}$

가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 거듭제곱 정수 기저(영어: power integral basis)라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 단일생성체(영어: monogenic field)라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

정칙 표현

 체 노름 문서를 참고하십시오.

 체 대각합 문서를 참고하십시오.

$n$차 수체 $K$의 정수 기저 $v_{1},\dots ,v_{n}\subset {\mathcal {O}}_{K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$xv_{i}=\sum a_{ij}v_{j}.$

따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬

$X=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$

로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v₁, ..., v_n에 대한 정칙 표현(正則表現, 영어: regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 $x$가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

$X$의 고유 다항식

$\det(\lambda -X)=\lambda ^{n}+c_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{n}$

은 $x$를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, $X$의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

$\operatorname {tr} X=-c_{1}$

$\det X=(-1)^{n}c_{n}$

이 경우, $X$의 대각합은 $\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)$로 쓰고, $x$의 대각합이라고 한다. 마찬가지로, $X$의 행렬식은 $\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)$로 쓰고, $x$의 노름이라 한다.

대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.

• (대각합의 선형성) $\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(ax+by)=a\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)+b\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a,b\in \mathbb {Q}$
• (노름의 승법성) $\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(axy)=a^{n}\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a\in \mathbb {Q}$

판별식

수체의 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

수체 $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 정수 기저 $\{b_{1},\dots ,b_{r}\}\subset O_{K}$를 고르자 ($r=r_{1}+2r_{2}$). $K$의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

$\sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$

$\sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C}$

그렇다면 다음과 같은 $r\times r$ 정사각 행렬을 정의할 수 있다.

$M={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{1})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{1})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{1})\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{r})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{r})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{r})\\\end{pmatrix}}$

이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 $K$의 판별식 $\Delta _{K}$라고 한다.

$\Delta _{K}=(\det M)^{2}$

수체의 판별식 $\Delta _{K}$는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 브릴 정리(영어: Brill’s theorem): 수체의 판별식의 부호는 $\operatorname {sgn} \Delta _{K}=(-1)^{r_{2}(K)}$이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
• 슈티켈베르거 정리(영어: Stickelberger’s theorem): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.

  $\Delta _{K}\equiv 0,1{\pmod {4}}$

• 민코프스키 하한(영어: Minkowski’s bound): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 $r=r_{1}+2r_{2}=[K:\mathbb {Q} ]$이다.

  ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}\geq {\frac {r^{r}}{r!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}$

• 민코프스키 정리(영어: Minkowski’s theorem): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

  $|\Delta _{K}|\geq 2\qquad (K\neq \mathbb {Q} )$

• 에르미트-민코프스키 정리(영어: Hermite–Minkowski theorem): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

대수적 정수환의 곱셈 구조

디리클레 가역원 정리

$K$에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, $\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })$라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, $K$에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 $w_{K}$라고 하면

$\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{K}^{\times })=\operatorname {Cyc} (w_{K})$이다.

디리클레 가역원 정리(Dirichlet可逆元定理, 영어: Dirichlet unit theorem)에 따르면, $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 가역원군 ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.

${\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (w_{k})\oplus \mathbb {Z} ^{\oplus (r_{1}+r_{2}-1)}$

즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 $r_{1}+r_{2}-1$이다. 예를 들어, 다음과 같다.

수체	가역원군	실수 자리 수 $r_{1}$	복소수 자리 수 $r_{2}$	가역원군의 크기	차수
$\mathbb {Q}$	$\{\pm 1\}$	1	0	0	1
$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ($d$는 양의 무제곱 정수)		2	0	1	2
$\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ ($d$는 양의 무제곱 정수)		0	1	0	2
$\mathbb {Q} (i)$ (가우스 정수)	$\{\pm 1,\pm i\}$	0	1	0	2
$\mathbb {Q} (\omega )/(\omega ^{2}+\omega +1)$ (아이젠슈타인 정수)	$\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}$	0	1	0	2

가역원 기준

수체의 가역원 기준(可逆元基準, 영어: regulator 레귤레이터^[*])은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 가역원군 ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$이 주어졌다고 하자. $K$에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 $\operatorname {Cyc} (m)=\{1,\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \}$에 대한 몫군

${\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)$

을 생각하자. 이 군의 생성원

${\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)=\langle u_{1},\dots ,u_{r}\rangle$

을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, $r=r_{1}(K)+r_{2}(K)-1$이다 ($r_{1}(K)$은 실수 자리의 수, $r_{2}(K)$는 복소수 자리의 수).

$K$의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.

$\sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$

$\sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C}$

그렇다면 다음과 같은 $r\times (r+1)$행렬을 생각하자.

$M={\begin{pmatrix}\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{1})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{1})|\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{r})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{r})|\\\end{pmatrix}}$

$M$의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.

$\sum _{j}M_{i,j}=\ln \left|f_{1}(u_{i})\cdots f_{r_{1}}(u_{i})g_{1}(u_{i})^{2}\cdots g_{r_{2}}(u_{i})^{2}\right|=\ln |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(u_{i})|=0\quad \forall i=1,\dots ,r$

$M$에서 임의의 한 열 $M_{-,j}$을 제거한 $r\times r$ 정사각 행렬을 $M_{-,{\hat {j}}}$라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 $\det M_{-,{\hat {j}}}$는 $j$에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 $u_{i}$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 $K$의 가역원 기준 $\operatorname {Reg} _{K}$라고 한다.

$\operatorname {Reg} _{K}=\det M_{-,{\hat {j}}}\quad \forall j=1,\dots ,r+1$

유일 인수 분해의 실패

 이 부분의 본문은 유수 공식입니다.

대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 $H_{K}$ 및 그 크기인 유수(類數) $h_{K}=|H_{K}|$를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.

분기화

 이 부분의 본문은 분기화입니다.

대수기하학적으로, 포함 관계 $\mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}$는 반대로 스킴 사상 $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 $K/\mathbb {Q}$ 및 소수 $p\in \mathbb {Z} ^{+}$가 주어졌을 때, $p$로 생성되는 주 아이디얼은 ${\mathcal {O}}_{K}$에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.

$(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}{\mathfrak {p}}_{2}^{e_{2}}\dotsb {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}$

여기서 $e_{i}$를 $K$의 ${\mathfrak {p}}_{i}$에서의 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다.

이 경우, $p$는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

• 만약 $e_{i}>1$인 ${\mathfrak {p}}_{i}$가 존재한다면, $p$는 분기화된다(영어: ramified).
• 만약 모든 $e_{i}=1$이라면, $p$는 분기화되지 않는다(영어: unramified)
  • 만약 $k=1$이라면, $p$는 분해되지 않는다(영어: unsplit).
  • 만약 $k>1$이지만 $e_{1}=e_{2}=\dots =e_{k}=1$이라면, $p$는 (다른 소수들의 곱으로) 분해된다(영어: split).

수체 $K/\mathbb {Q}$에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 소수 $p$는 분기화된다.
• ${\mathcal {O}}_{K}/(p)=\prod _{i}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i}^{e_{i}}$는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
• $p\mid \Delta _{K}$. 여기서 $\Delta _{K}$는 $K$의 판별식이다.

판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

대수기하학적으로, 포함 관계 $\mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}$는 반대로 스킴 사상 $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(영어: ramification)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체의 기타 불변량

위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 $K$에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.

• $K$의 종수체(영어: genus field) $G/K$. 이는 $K$의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 종수군(영어: genus group)이라고 하며, 종수체의 차수는 종수(영어: genus) $g(K)=[G:K]$라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다.
• $K$의 힐베르트 유체(영어: Hilbert class field) $E/K$. 이 역시 $K$의 아벨 확대이다. $E/K$의 갈루아 군은 $K$의 아이디얼 유군과 같다.
• $K$의 데데킨트 제타 함수 $\zeta _{K}(s)$. 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
• 아델 환 $\mathbb {A} _{K}$. 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 이델 군이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.

예

다음과 같은 예들이 있다.

• 유리수체 $\mathbb {Q}$
• 이차 수체
• 원분체
• $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 $x^{3}-2$의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
• $x^{3}-x^{2}-2x-8$의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.

유리수체

 이 부분의 본문은 유리수입니다.

유리수체 $\mathbb {Q}$는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

오스트롭스키 정리(영어: Ostrowski’s theorem)에 따르면, 유리수체 $\mathbb {Q}$는 다음과 같은 자리들을 가진다.

• 자명한 자리

  $|x|={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}$

• 표준 자리 (통상적인 절댓값)
• 소수 p에 대하여, p진 자리

  ${\begin{cases}|0|&=0\\|p^{n}a/b|_{p}=p^{-n}\end{cases}}$

  ($a,b,p$는 서로소)

특히, $\mathbb {Q}$는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.

$r_{1}(\mathbb {Q} )=1$

$r_{2}(\mathbb {Q} )=0$

유리수체의 대수적 정수환은 정수환 $\mathbb {Z}$이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.

$\operatorname {T} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=\operatorname {N} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=x$

유리수체의 대수적 정수환 $\mathbb {Z}$의 정수 기저는 $\{1\}$을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.

$\Delta _{\mathbb {Q} }=\left(\det {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\right)^{2}=1$

유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 $\{\pm 1\}$이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.

$\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }=1$

유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 $\zeta (s)$이다. 리만 제타 함수의 $s=1$에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.

$1={\frac {2^{r_{1}(\mathbb {Q} )}(2\pi )^{r_{2}(\mathbb {Q} )}h_{\mathbb {Q} }\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }}{|\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }^{\times })|{\sqrt {|\Delta _{\mathbb {Q} }|}}}}={\frac {2^{1}\cdot (2\pi )^{0}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot {\sqrt {|1|}}}}=1$

이차 수체

 이 부분의 본문은 이차 수체입니다.

제곱 인수가 없는 정수 $d$에 대하여, 이차 수체

$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} +{\sqrt {d}}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-d)$

를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, $d$가 양수일 경우 실수 이차 수체, 음수일 경우 허수 이차 수체라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 $\mathbb {Q} (i)=\mathbb {Q} +i\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-1)$가 있다. 다른 예로, $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, $6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)$이다.

기저를 $\{1,{\sqrt {d}}\}$로 잡으면, 각 원소

$a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$

는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다.

$a+b{\sqrt {d}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}$

이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.

$T(a+b{\sqrt {d}})=2a$

$N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}$

이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 $d$에 대하여,

$\Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}$

이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식(영어: fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS의 수열 A003658)

음의 기본 판별식들은 다음과 같다.

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS의 수열 A003657)

원분체

 이 부분의 본문은 원분체입니다.

원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 $\zeta _{n}$을 추가하여 정의한다.

$\mathbb {Q} (\zeta _{n})=\mathbb {Q} [x]/(x^{n}-1)$

특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 $\mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} (\zeta _{3})$가 있다.

$n>2$일 때, 원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$의 판별식은 다음과 같다.

$\Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\varphi (n)/2}n^{\varphi (n)}\prod _{p|n}p^{-\varphi (n)/(p-1)}$

여기서

• $\varphi (n)$은 오일러 피 함수이다.
• $\prod _{p|n}$은 $n$의 소인수들에 대한 곱이다.

대수적 수체가 아닌 확대

다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.

• $\mathbb {Q} (\pi )/\mathbb {Q}$는 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$나 $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• $\mathbb {Q} (x)/\mathbb {Q}$ 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
• 대수적 수의 체를 ${\bar {\mathbb {Q} }}$라고 하자. ${\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q}$는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
• $\mathbb {C} /\mathbb {R}$는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.

같이 보기

• 국소체
• 대역체
• 아델 환
• 하세-민코프스키 정리
• 버치-스위너턴다이어 추측

참고 문헌

• Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 110 2판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 84 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISSN 0072-5285.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

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• “Number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Non-Abelian number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Proskuryakov, I.V. (2001). “Discriminant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Regulator of an algebraic number field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring of integers”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regulator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fundamental unit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Number field”. 《nLab》 (영어). 
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• “Regulator of a number field”. 《nLab》 (영어). 
• “Genus of a number field”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “디리클레 단위 정리와 수체의 regulator”. 《수학노트》. 
• “Do finite places of a number field also correspond to embeddings?”. 《Math Overflow》 (영어).