복소수체 에 대한 완비 비특이 대수 곡선 (리만 곡면 )의 경우, 야코비 다양체는 다음과 같이 작도할 수 있다. 이 작도는 닐스 헨리크 아벨 이 정의하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비 가 이 작도가 0차 선다발 의 모듈라이 공간 과 동형임을 보였다. 이를 아벨-야코비 정리 (영어 : Abel–Jacobi theorem )라고 한다.
곡면 종수 가
g
∈
N
{\displaystyle g\in \mathbb {N} }
대수 곡선
Σ
g
{\displaystyle \Sigma _{g}}
호지 수 들은
1
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
1
이다. 즉, 위상수학 적으로
Λ
=
H
1
(
Σ
g
;
Z
)
≅
Z
2
g
{\displaystyle \Lambda =\operatorname {H} _{1}(\Sigma _{g};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}}
이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 꼬임 부분군 이 없다.) 또한,
V
=
(
H
1
,
0
(
Σ
g
)
)
∗
=
(
H
0
(
Σ
g
,
K
Σ
g
)
)
∗
≅
C
g
{\displaystyle V=(\operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma _{g}))^{*}=(\operatorname {H} ^{0}(\Sigma _{g},{\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}}))^{*}\cong \mathbb {C} ^{g}}
를 정의할 수 있다. 여기서
H
1
,
0
(
Σ
g
)
=
H
0
(
Σ
g
,
K
Σ
g
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma _{g})=\operatorname {H} ^{0}(\Sigma _{g},{\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}})}
복소수 미분 형식 들의 복소수 벡터 공간 이며, ((1,−1)차 복소수 미분 형식 이 존재하지 않으므로) (1,0)차 돌보 코호몰로지 와 같다. (
K
Σ
g
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}}}
대수 곡선 의 표준 선다발 이며, 기하학적으로 그 단면 은 (1,0)차 복소수 미분 형식 이다.)
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
복소수 벡터 공간 의 쌍대 공간 이다.정수 계수 코호몰로지가 꼬임 부분군 을 갖지 않으므로, 자연스럽게
Λ
⊆
V
{\displaystyle \Lambda \subseteq V}
복소수 미분 형식 을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다.
이 경우, 야코비 다양체
Jac
(
Σ
g
)
{\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma _{g})}
g
{\displaystyle g}
아벨 다양체
Jac
(
Σ
g
)
=
V
/
Λ
≅
T
2
g
{\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma _{g})=V/\Lambda \cong \mathbb {T} ^{2g}}
이다.
야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화 아벨 다양체 의 구조를 갖는다.
구체적으로, 복소수 벡터 공간
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
교차 형식 (intersection form)에 의하여 다음과 같은 반쌍선형 심플렉틱 형식 이 존재한다.
ω
−
1
:
V
¯
∗
×
V
∗
→
C
{\displaystyle \omega ^{-1}\colon {\bar {V}}^{*}\times V^{*}\to \mathbb {C} }
ω
−
1
:
(
a
¯
,
b
)
=
∫
Σ
g
a
¯
∧
b
(
a
,
b
∈
V
∗
=
Ω
1
,
0
(
Σ
g
)
)
{\displaystyle \omega ^{-1}\colon ({\bar {a}},b)=\int _{\Sigma _{g}}{\bar {a}}\wedge b\qquad (a,b\in V^{*}=\Omega ^{1,0}(\Sigma _{g}))}
이 형식이 비퇴화이므로, 그 역
ω
:
V
¯
×
V
→
C
{\displaystyle \omega \colon {\bar {V}}\times V\to \mathbb {C} }
V
{\displaystyle V}
ω
(
Λ
,
Λ
)
=
Z
{\displaystyle \omega (\Lambda ,\Lambda )=\mathbb {Z} }
Λ
{\displaystyle \Lambda }
기저
{
α
i
,
β
i
}
i
=
1
,
…
,
g
{\displaystyle \{\alpha _{i},\beta _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}
ω
(
α
i
,
β
i
)
=
−
ω
(
β
i
,
α
i
)
=
δ
i
j
{\displaystyle \omega (\alpha _{i},\beta _{i})=-\omega (\beta _{i},\alpha _{i})=\delta _{ij}}
ω
(
α
i
,
β
i
)
=
ω
(
β
i
,
β
j
)
=
δ
i
j
{\displaystyle \omega (\alpha _{i},\beta _{i})=\omega (\beta _{i},\beta _{j})=\delta _{ij}}
로 놓을 수 있다. 즉,
ω
(
i
a
,
b
)
{\displaystyle \omega (\mathrm {i} a,b)}
V
{\displaystyle V}
켈러 형식 이며, 동형
V
¯
≅
V
∗
{\displaystyle {\bar {V}}\cong V^{*}}
α
¯
↦
ω
(
α
,
−
)
{\displaystyle {\bar {\alpha }}\mapsto \omega (\alpha ,-)}
을 정의한다. 따라서,
Jac
(
Σ
g
)
{\displaystyle \operatorname {Jac} (\Sigma _{g})}
ω
{\displaystyle \omega }
주극성화 아벨 다양체 를 이룬다.
야코비 다양체는 차수 0의 정칙 선다발 들의 모듈라이 공간 이다. 여기서 차수란 기하학적으로 천 특성류 의 적분이며, 차수가 0인 것은 그 천 접속 의 곡률이 0임을 뜻한다. 이러한 선다발들은 텐서곱에 따라서 아벨 군 을 이루는데, 야코비 다양체의 (아벨 다양체 로서의) 군 구조는 이와 일치한다.
모든 차수의 정칙 선다발 들의 모듈라이 공간 은 피카르 다양체 연결 성분 이다.
리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
인자 의 공간
Div
0
(
Σ
)
{\displaystyle \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )}
AJ
Σ
:
Div
0
(
Σ
)
→
Jac
(
Σ
)
{\displaystyle \operatorname {AJ} _{\Sigma }\colon \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
AJ
Σ
:
∑
i
=
1
k
(
p
i
−
q
i
)
↦
[
ω
↦
∑
i
=
1
k
∫
q
i
p
i
ω
1
]
p
1
,
…
,
p
k
,
q
1
,
…
,
q
k
∈
Σ
,
ω
∈
Ω
1
,
0
(
Σ
)
=
V
∗
{\displaystyle \operatorname {AJ} _{\Sigma }\colon \sum _{i=1}^{k}(p_{i}-q_{i})\mapsto \left[\omega \mapsto \sum _{i=1}^{k}\int _{q_{i}}^{p_{i}}\omega _{1}\right]\qquad p_{1},\dotsc ,p_{k},q_{1},\dotsc ,q_{k}\in \Sigma ,\;\omega \in \Omega ^{1,0}(\Sigma )=V^{*}}
여기서
∫
q
i
p
i
ω
{\displaystyle \textstyle \int _{q_{i}}^{p_{i}}\omega }
q
i
{\displaystyle q_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
γ
:
[
0
,
1
]
→
Σ
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma }
γ
(
0
)
=
q
i
{\displaystyle \gamma (0)=q_{i}}
γ
(
1
)
=
p
i
{\displaystyle \gamma (1)=p_{i}}
에 대한 1차 미분 형식
ω
{\displaystyle \omega }
γ
{\displaystyle \gamma }
호모토피류 에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용하였을 때의 차는
Λ
{\displaystyle \Lambda }
이 사상은 전사 함수 이자 두 아벨 군 사이의 군 준동형 이며, 그 핵 은 주인자 의 부분군
PDiv
(
Σ
)
≤
Div
0
(
Σ
)
{\displaystyle \operatorname {PDiv} (\Sigma )\leq \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )}
아벨 군 의 짧은 완전열 이 존재한다.
0
→
PDiv
(
Σ
)
→
Div
0
(
Σ
)
→
Jac
(
Σ
)
→
0
{\displaystyle 0\to \operatorname {PDiv} (\Sigma )\to \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )\to 0}
0차 정칙 선다발 은 인자류
[
∑
i
p
i
−
q
i
]
Div
0
(
Σ
)
/
PDiv
(
Σ
)
{\displaystyle [\textstyle \sum _{i}p_{i}-q_{i}]\operatorname {Div} _{0}(\Sigma )/\operatorname {PDiv} (\Sigma )}
모듈라이 공간 과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.
특히,
g
≥
1
{\displaystyle g\geq 1}
q
∈
Σ
{\displaystyle q\in \Sigma }
Σ
×
⋯
×
Σ
⏞
g
→
Jac
(
Σ
)
{\displaystyle \overbrace {\Sigma \times \dotsb \times \Sigma } ^{g}\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
(
p
1
,
…
,
p
g
)
↦
AJ
Σ
(
∑
i
=
1
g
(
p
g
−
q
)
)
{\displaystyle (p_{1},\dotsc ,p_{g})\mapsto \operatorname {AJ} _{\Sigma }\left(\sum _{i=1}^{g}(p_{g}-q)\right)}
를 생각하자. 이는 대칭군
Sym
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (g)}
짜임새 공간
Conf
(
Σ
,
g
)
=
Σ
g
/
Sym
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} (\Sigma ,g)=\Sigma ^{g}/\operatorname {Sym} (g)}
Conf
(
Σ
,
g
)
→
Jac
(
Σ
)
{\displaystyle \operatorname {Conf} (\Sigma ,g)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
은 항상 전사 함수 이며, 거의 어디서나 단사 함수 이다. 즉, 이 사상이 단사 함수가 아닌 점들은 양의 여차원 의 부분 다양체를 이룬다.
종수 1의 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
=
Conf
(
Σ
,
1
)
→
Jac
(
Σ
)
{\displaystyle \Sigma =\operatorname {Conf} (\Sigma ,1)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )}
종수 0의 리만 곡면 (즉, 리만 구 )의 야코비 다양헤는 0차원 아벨 다양체 이므로 한원소 공간 이다. 다시 말해, 리만 구 위에서, 모든 0차 인자 는 주인자 이며, 유일한 0차 정칙 선다발은 자명하다. (천 접속의 곡률이 0이므로, 이러한 정칙 선다발은 모노드로미 로 정의되는데, 리만 구는 단일 연결 공간 이므로 모노드로미가 존재하지 않는다.)
![{\displaystyle \operatorname {AJ} _{\Sigma }\colon \sum _{i=1}^{k}(p_{i}-q_{i})\mapsto \left[\omega \mapsto \sum _{i=1}^{k}\int _{q_{i}}^{p_{i}}\omega _{1}\right]\qquad p_{1},\dotsc ,p_{k},q_{1},\dotsc ,q_{k}\in \Sigma ,\;\omega \in \Omega ^{1,0}(\Sigma )=V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10f1e0a36335cb64fb70a596a28c0779f5bda46)
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329efd67576c0ed7918476316a828196051f214d)
![{\displaystyle [\textstyle \sum _{i}p_{i}-q_{i}]\operatorname {Div} _{0}(\Sigma )/\operatorname {PDiv} (\Sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b454e141c6d2e57cae88ac1f39fda83eba03d0fe)
