n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
올다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
매끄러운 다양체 라고 하자.
점
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
근방 에 정의되는,
E
{\displaystyle E}
Γ
x
(
E
)
{\displaystyle \Gamma _{x}(E)}
E
{\displaystyle E}
s
,
t
∈
Γ
x
(
E
)
{\displaystyle s,t\in \Gamma _{x}(E)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
r
{\displaystyle r}
영어 :
r
{\displaystyle r}
임의의
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
다중지표
α
∈
N
n
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}
|
α
|
≤
r
{\displaystyle |\alpha |\leq r}
∂
α
s
|
x
=
∂
α
t
|
x
{\displaystyle \partial ^{\alpha }s|_{x}=\partial ^{\alpha }t|_{x}}
즉,
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
r
{\displaystyle r}
동치 관계 에 대한 동치류 이다. 매끄러운 국소 단면
s
∈
Γ
x
(
E
)
{\displaystyle s\in \Gamma _{x}(E)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
r
{\displaystyle r}
j
x
r
s
{\displaystyle j_{x}^{r}s}
임의의
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
r
{\displaystyle r}
J
x
r
E
{\displaystyle J_{x}^{r}E}
dim
J
x
r
E
=
k
∑
i
=
0
r
(
i
+
n
−
1
i
)
=
k
(
r
+
n
r
)
{\displaystyle \dim J_{x}^{r}E=k\sum _{i=0}^{r}{\binom {i+n-1}{i}}=k{\binom {r+n}{r}}}
차원의 매끄러운 다양체 의 구조를 줄 수 있다.
M
{\displaystyle M}
π
(
e
)
∈
M
{\displaystyle \pi (e)\in M}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})}
E
{\displaystyle E}
e
∈
E
{\displaystyle e\in E}
(
x
1
,
…
,
x
n
,
e
1
,
…
,
e
k
)
{\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},e^{1},\dots ,e^{k})}
(
∂
α
e
i
)
α
∈
N
n
,
|
α
|
≤
r
,
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle (\partial ^{\alpha }e^{i})_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\;|\alpha |\leq r,\;i\in \{1,\dots ,k\}}}
는
J
x
r
E
{\displaystyle J_{x}^{r}E}
J
x
r
E
{\displaystyle J_{x}^{r}E}
E
{\displaystyle E}
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
영어 :
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
s
<
r
{\displaystyle s<r}
J
x
r
E
→
J
x
s
E
{\displaystyle J_{x}^{r}E\to J_{x}^{s}E}
그러나
s
{\displaystyle s}
r
>
s
{\displaystyle r>s}
M
{\displaystyle M}
r
{\displaystyle r}
J
x
r
E
{\displaystyle J_{x}^{r}E}
올다발 을 정의할 수 있다. 이를
r
{\displaystyle r}
제트 다발
J
r
E
↠
M
{\displaystyle J^{r}E\twoheadrightarrow M}
J
r
E
{\displaystyle J^{r}E}
n
+
k
(
r
+
n
r
)
{\displaystyle \textstyle n+k{\binom {r+n}{r}}}
자연스러운 사영
J
r
E
↠
E
{\displaystyle J^{r}E\twoheadrightarrow E}
E
{\displaystyle E}
올다발 로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상
j
r
:
Γ
x
(
E
)
→
Γ
x
(
J
r
E
)
{\displaystyle j^{r}\colon \Gamma _{x}(E)\to \Gamma _{x}(J^{r}E)}
j
r
:
s
↦
j
r
s
∀
s
∈
Γ
x
(
E
)
{\displaystyle j^{r}\colon s\mapsto j^{r}s\qquad \forall s\in \Gamma _{x}(E)}
이 존재한다.
j
r
s
{\displaystyle j^{r}s}
s
{\displaystyle s}
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
영어 :
r
{\displaystyle r}
제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수 가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.
제트 다발 사이에는 사영 사상
J
r
E
→
J
s
E
(
s
<
r
)
{\displaystyle J^{r}E\to J^{s}E\qquad (s<r)}
이 존재한다. 이에 대한 역극한
J
∞
E
=
lim
←
r
J
r
E
{\displaystyle J^{\infty }E=\varprojlim _{r}J^{r}E}
을 무한 제트 다발 (영어 : infinite jet bundle )이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체 가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간 (영어 : diffeological space )의 구조를 줄 수 있다.
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식 의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
r
{\displaystyle r}
편미분 방정식
r
{\displaystyle r}
J
r
E
{\displaystyle J^{r}E}
매장 된 부분 다양체
P
↪
J
r
E
{\displaystyle P\hookrightarrow J^{r}E}
P
{\displaystyle P}
해 (解, 영어 : solution )는 제트 연장
j
r
s
:
M
→
J
r
E
{\displaystyle j^{r}s\colon M\to J^{r}E}
상
j
r
s
(
M
)
{\displaystyle j^{r}s(M)}
P
{\displaystyle P}
E
{\displaystyle E}
단면
s
∈
Γ
(
E
)
{\displaystyle s\in \Gamma (E)}
Sol
(
P
)
=
{
s
∈
Γ
(
E
)
:
j
r
s
(
M
)
⊆
P
}
{\displaystyle \operatorname {Sol} (P)=\{s\in \Gamma (E)\colon j^{r}s(M)\subseteq P\}}
무한 제트 다발
J
∞
E
{\displaystyle J^{\infty }E}
미분학적 공간 (영어 : diffeological space )의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식 을 정의할 수 있다.
J
∞
E
{\displaystyle J^{\infty }E}
Ω
n
J
∞
E
{\displaystyle \Omega ^{n}J^{\infty }E}
n
=
h
+
v
{\displaystyle n=h+v}
X
{\displaystyle X}
h
{\displaystyle h}
수평 차수 (영어 : horizontal degree )라고 한다.무한 제트 다발의 올
J
e
∞
E
{\displaystyle J_{e}^{\infty }E}
v
{\displaystyle v}
수직 차수 (영어 : vertical degree )라고 한다. 따라서,
Ω
n
E
=
⨁
h
+
v
=
n
Ω
h
,
v
J
∞
E
{\displaystyle \Omega ^{n}E=\bigoplus _{h+v=n}\Omega ^{h,v}J^{\infty }E}
가 된다. 이를
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
변분 이중 복합체 (變分二重複合體, 영어 : variational bicomplex )라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분
d
{\displaystyle \mathbf {d} }
d
{\displaystyle d}
δ
{\displaystyle \delta }
d
=
d
+
δ
{\displaystyle \mathbf {d} =d+\delta }
d
:
Ω
h
,
v
J
∞
E
→
Ω
h
+
1
,
v
J
∞
E
{\displaystyle d\colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h+1,v}J^{\infty }E}
δ
:
Ω
h
,
v
J
∞
E
→
Ω
h
,
v
+
1
J
∞
E
{\displaystyle \delta \colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h,v+1}J^{\infty }E}
이 구조는 변분법 에서 핵심적인 역할을 한다.
예를 들어,
n
{\displaystyle n}
M
{\displaystyle M}
라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
ϕ
∈
Γ
(
E
)
{\displaystyle \phi \in \Gamma (E)}
라그랑지언 밀도 는 미분 형식
L
(
j
∞
ϕ
)
∈
Ω
n
,
0
J
∞
E
{\displaystyle {\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )\in \Omega ^{n,0}J^{\infty }E}
작용
S
=
∫
M
L
(
j
∞
ϕ
)
{\displaystyle S=\int _{M}{\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )}
을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식 은
δ
L
∈
im
d
{\displaystyle \delta L\in \operatorname {im} d}
d
:
Ω
n
,
1
J
∞
E
→
Ω
n
,
1
J
∞
E
{\displaystyle d\colon \Omega ^{n,1}J^{\infty }E\to \Omega ^{n,1}J^{\infty }E}
가 된다.
올다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
오일러-라그랑주 복합체 (영어 : Euler–Lagrange complex )를 정의할 수 있다.
0
→
R
→
Ω
0
,
0
→
d
Ω
1
,
0
→
d
Ω
2
,
0
→
d
⋯
→
d
Ω
n
,
0
→
F
1
(
J
∞
E
)
→
δ
F
2
(
J
∞
E
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to \Omega ^{0,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{1,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{2,0}{\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n,0}\to {\mathcal {F}}^{1}(J^{\infty }E){\xrightarrow {\delta }}F^{2}(J^{\infty }E)\to \cdots }
여기서
F
v
(
E
)
=
Ω
n
,
v
/
d
(
Ω
n
−
1
,
s
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)=\Omega ^{n,v}/d(\Omega ^{n-1,s})}
는
Ω
∙
,
∙
{\displaystyle \Omega ^{\bullet ,\bullet }}
스펙트럼 열 의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계
F
v
(
E
)
↪
Ω
n
,
v
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)\hookrightarrow \Omega ^{n,v}}
가 존재한다.
오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체 를 이루며, 그 코호몰로지 는 올다발의 전체 공간
E
{\displaystyle E}
드람 코호몰로지 와 동형이다.
임의의 올다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
의 0차 제트 다발은
E
{\displaystyle E}
J
0
E
=
E
{\displaystyle J^{0}E=E}
즉, 0차 제트 연장은 항등 함수 이다.
j
0
s
=
s
∀
s
∈
Γ
(
E
)
{\displaystyle j^{0}s=s\qquad \forall s\in \Gamma (E)}
자명한 올다발
E
=
M
×
N
↠
M
{\displaystyle E=M\times N\twoheadrightarrow M}
의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수 와 같다.
Γ
(
E
)
=
C
∞
(
M
;
N
)
{\displaystyle \Gamma (E)={\mathcal {C}}^{\infty }(M;N)}
매끄러운 함수
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
j
x
1
f
=
D
f
(
x
)
∈
T
x
∗
M
⊗
T
f
(
x
)
N
{\displaystyle j_{x}^{1}f=Df(x)\in T_{x}^{*}M\otimes T_{f(x)}N}
여기서
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M}
T
N
{\displaystyle TN}
공변접다발 과 접다발 이다.
따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은
J
1
E
=
pr
M
∗
T
∗
M
⊗
pr
N
T
N
{\displaystyle J^{1}E=\operatorname {pr} _{M}^{*}T^{*}M\otimes \operatorname {pr} _{N}TN}
이다. 여기서
pr
M
:
M
×
N
↠
M
{\displaystyle \operatorname {pr} _{M}\colon M\times N\twoheadrightarrow M}
pr
N
:
M
×
N
↠
N
{\displaystyle \operatorname {pr} _{N}\colon M\times N\twoheadrightarrow N}
는 곱공간 의 자연스러운 사영 사상이며,
pr
M
∗
{\displaystyle \operatorname {pr} _{M}^{*}}
벡터 다발 의 당김 이다.
특히,
M
=
R
n
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
J
1
E
=
R
n
×
(
T
N
)
⊗
n
{\displaystyle J^{1}E=\mathbb {R} ^{n}\times (TN)^{\otimes n}}
이며, 반대로
N
=
R
k
{\displaystyle N=\mathbb {R} ^{k}}
J
1
E
=
(
T
∗
M
)
⊗
k
×
R
k
{\displaystyle J^{1}E=(T^{*}M)^{\otimes k}\times \mathbb {R} ^{k}}
이다. 후자에서
k
=
1
{\displaystyle k=1}
접촉다양체 를 이룬다. 구체적으로,
T
∗
M
×
R
{\displaystyle T^{*}M\times \mathbb {R} }
(
x
i
,
p
i
,
t
)
{\displaystyle (x^{i},p_{i},t)}
d
t
+
∑
i
p
i
d
x
i
{\displaystyle dt+\sum _{i}p_{i}dx^{i}}
올과 밑공간이 매끄러운 다양체 인 올다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
dim
M
=
n
{\displaystyle \dim M=n}
dim
E
=
n
+
k
{\displaystyle \dim E=n+k}
을 생각하자. 이 경우, 올다발 의 접다발
T
E
{\displaystyle TE}
수직 다발 (영어 : vertical bundle )
V
E
{\displaystyle VE}
V
e
E
=
T
e
E
π
(
e
)
{\displaystyle V_{e}E=T_{e}E_{\pi (e)}}
즉, 올다발
E
{\displaystyle E}
V
E
{\displaystyle VE}
V
e
E
{\displaystyle V_{e}E}
E
{\displaystyle E}
접공간 이다.
V
E
{\displaystyle VE}
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
벡터 다발 을 이룬다.
그렇다면,
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
올다발 로서) 다음과 같다.
J
1
E
=
V
E
⊗
E
π
∗
T
∗
M
{\displaystyle J^{1}E=VE\otimes _{E}\pi ^{*}T^{*}M}
dim
J
1
E
=
n
k
+
k
+
n
{\displaystyle \dim J^{1}E=nk+k+n}
J
1
E
↠
E
{\displaystyle J^{1}E\twoheadrightarrow E}
단면
θ
{\displaystyle \theta }
π
∗
T
∗
M
⊂
T
∗
E
{\displaystyle \pi ^{*}T^{*}M\subset T^{*}E}
E
{\displaystyle E}
V
E
{\displaystyle VE}
1차 미분 형식 을 정의한다. 또한,
θ
{\displaystyle \theta }
다발 사상
T
E
→
V
E
⊂
T
E
{\displaystyle TE\to VE\subset TE}
사영작용소 를 이룰 경우, 그 핵
ker
θ
⊂
T
E
{\displaystyle \ker \theta \subset TE}
E
{\displaystyle E}
에레스만 접속 을 이룬다. 즉,
T
E
=
ker
θ
⊕
V
E
{\displaystyle TE=\ker \theta \oplus VE}
가 되어,
ker
θ
{\displaystyle \ker \theta }
n
∈
Z
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}
피복 공간
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
은 올이
n
{\displaystyle n}
이산 공간 인 올다발 이다. 이 경우,
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
국소 상수 함수 가 되므로 임의의
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
E
=
J
0
E
=
J
1
E
=
J
2
E
=
⋯
{\displaystyle E=J^{0}E=J^{1}E=J^{2}E=\cdots }
가 된다.
↑ Ehresmann, C. (1953). 〈Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie〉. 《Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953》. Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique (프랑스어) 52 . Centre national de la recherche scientifique. 97-127쪽. OCLC 27311357 .
