킬링 벡터장

리만 기하학에서 킬링 벡터장(Killing vector場, 영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다.^{:214, 부록 C} 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

정의

킬링 벡터장

일반화 리만 다양체 $(M,g)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 $X\in \Gamma (\mathrm {T} M)$에 대하여, 리 미분

${\mathcal {L}}_{X}g$

을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약

${\mathcal {L}}_{X}g=0$

이 성립한다면, $X$를 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X\in \Gamma (\mathrm {T} M)$이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환

$X\mapsto {\mathcal {L}}_{X}g$

의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

${\mathcal {L}}_{X}g=0$을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.^{:§3.3, (3.10)}

$\nabla _{(\mu }X_{\nu )}=0$

여기서 $\nabla$는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건($\nabla _{\mu }X_{\nu }=0$)을 약화시킨 것이다.

$(M,g)$의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군

$\operatorname {Isom} (M,g)=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;M)\colon f^{*}g=g\}$

을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 ${\mathfrak {isom}}(M,g)$를 이룬다.

킬링 지평선

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 부분 집합 $\{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}$을 $X$의 킬링 지평선(Killing地平線, 영어: Killing horizon)이라고 한다.^:§3.3 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

성질

정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

리 대수 구조

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 $(M,g)$, $(M',g')$에 대하여, 표준적으로

${\mathfrak {isom}}(M\sqcup M',g\sqcup g')\cong {\mathfrak {isom}}(M,g)\oplus {\mathfrak {isom}}(M',g')$

이다.

$k$개의 연결 성분을 갖는, $n$차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 $kn(n+1)/2$ 이하이다.^{:443, §C.3} (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

위상 수학적 성질

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $M$의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
• 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, $M$의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 $X$에 대하여, $X|_{x}=0\in \mathrm {T} _{x}M$인 $x\in M$이 존재한다.

조화 함수와의 관계

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$의 발산은 0이다.

$\nabla \cdot X=0$

유도:

$\nabla \cdot X=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }X_{\nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\nabla _{\mu }X_{\nu }-\nabla _{\nu }X_{\mu })={\frac {1}{2}}(g^{\mu \nu }-g^{\nu \mu })\nabla _{\mu }X_{\nu }=0$

$X$의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.^{:442, (C.3.6)}

$\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }=R_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }$

유도:

리만 곡률 텐서의 정의에 따라

$[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]X_{\rho }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X_{\sigma }$

이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라

$\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }+\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }=R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }X_{\sigma }$

이다. 이제, 양변에 $(\mu ,\nu ,\rho )$에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,

$2(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }+\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\mu }X_{\nu })=(R_{\mu \nu \rho }{}^{\sigma }+R_{\nu \rho \mu }{}^{\sigma }+R_{\rho \mu \mu }{}^{\sigma })X_{\sigma }=0$

이다. 따라서,

$\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }X_{\rho }=-(\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\mu }X_{\nu })=-\nabla _{\nu }\nabla _{\rho }X_{\mu }+\nabla _{\rho }\nabla _{\nu }X_{\mu }=R_{\rho \nu \mu \sigma }X^{\sigma }$

이다.

특히, $X$의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.^{:443, (C.3.9)}

$\nabla ^{2}X_{\mu }=-R_{\mu \nu }X^{\nu }$

특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 $R_{\mu \nu }=0$이며, $X_{\mu }$의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 $X_{\mu }$가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 $X_{\mu }$는 로렌츠 게이지 조건 $\nabla \cdot X=0$ 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.

측지선에 대한 물리량의 보존

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$와 측지선

$\gamma \colon \mathbb {R} \to M$

$\gamma \colon t\mapsto \gamma (t)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=0\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

즉, 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 $g(X,{\dot {\gamma }})$는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.

유도:

벡터장 $Y$가

$Y|_{\gamma (t)}={\dot {\gamma }}(t)\in \mathrm {T} _{\gamma (t)}M\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 $\gamma$가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식

$(Y^{\mu }\nabla _{\mu }Y^{\nu })|_{\gamma (t)}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g(X|_{\gamma (t)},{\dot {\gamma }}(t))=\left.Y^{\mu }\nabla _{\mu }(X_{\nu }Y^{\nu })\right|_{\gamma (t)}=\left.Y^{\mu }\left((\nabla _{\mu }X_{\nu })Y^{\nu }+X_{\nu }\nabla _{\mu }Y^{\nu }\right)\right|_{\gamma (t)}=0$

이다.

마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 $T_{\mu \nu }=(R_{\mu \nu }-Rg_{\mu \nu }/2)/(8\pi G)$를 생각할 때,

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$

이므로, 임의의 벡터장 $X^{\mu }$에 대하여

$\nabla _{\mu }(T^{\mu \nu }X_{\nu })=T^{\mu \nu }\nabla _{\mu }X_{\nu }={\frac {1}{2}}T^{\mu \nu }\left(\nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }\right)$

이다. 따라서, 만약 $X^{\mu }$가 킬링 벡터장이라면 $T^{\mu \nu }X_{\nu }$는 공변 보존류이다.

표면 중력

 이 부분의 본문은 표면 중력입니다.

킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수

$\kappa \colon \{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}\to \mathbb {R}$

가 존재하며, 이 $\kappa$를 킬링 지평선 $\{x\in M\colon g(X,X)|_{x}=0\}$의 표면 중력이라고 한다.

$\partial _{\mu }\left(g(X,X)\right)=-2\kappa g_{\mu \nu }X^{\nu }$

이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$X^{\mu }\nabla _{\mu }X^{\nu }=\kappa X^{\nu }$

위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, $\kappa$를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, $\kappa$는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.^:§3.3

• 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 $x\partial _{t}+t\partial _{x}$와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
• 우세 에너지 조건이 성립할 경우

킬링 지평선 근처의 기하

$d+1$차원 로런츠 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$가 주어졌다고 하자. 또한, $X$가 $U\subseteq M$에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, $g(X,X)|_{x}<0\qquad \forall x\in U$). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 $(t,x^{i})$를 정의할 수 있다.

$\mathrm {d} s^{2}=-f(x)^{2}(\mathrm {d} t+\theta _{i}(x)\mathrm {d} x^{i})^{2}+h_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}$

여기서 $h_{ij}$는 양의 정부호 이차 형식이며, $i,j\in \{1,2,\dots ,d\}$이며, 또한 $f$와 $\theta _{i}$와 $h_{ij}$는 $(x^{1},\dots ,x^{d})$에만 의존하고, $t$에 의존하지 않는다. 이 경우, $h_{ij}$를 궤도 공간 계량(軌道空間計量, 영어: orbit-space metric)이라고 한다.

일반화

킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.

킬링 텐서장과 킬링 스피너장

유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 $T$는 다음을 만족한다.

${\mathcal {L}}_{X}T=0$

$\nabla _{(\mu }T_{\nu \rho )}=0$

정칙 킬링 벡터장

켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, 영어: holomorphic Killing vector field)라고 한다.^{:239–244:266–270} 켈러 다양체의 접다발 $TM^{\mathbb {C} }$은 정칙적 부분 $T^{+}M$과 반정칙적 부분 $T^{-}M$으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 $T^{+}M$의 단면이다.

$X^{i}$가 켈러 다양체 $(M,g_{i{\bar {\jmath }}})$ 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

$\nabla _{i}X^{k}g_{k{\bar {\jmath }}}+{\bar {\nabla }}_{\bar {\jmath }}{\bar {X}}^{\bar {k}}g_{{\bar {k}}i}=0$

이에 따라, $X$는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$X^{i}=-ig^{i{\bar {\jmath }}}{\bar {\partial }}_{\bar {\jmath }}D(z,{\bar {z}})$

${\bar {X}}^{\bar {\imath }}=ig^{j{\bar {\imath }}}\partial _{j}D(z,{\bar {z}})$

여기서 $D(z,{\bar {z}})$는 킬링 퍼텐셜(영어: Killing potential)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

예

공변 상수 벡터장 (즉, $\nabla _{\mu }X^{\nu }=0$인 벡터장 $X$)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체 $(M,g)$의 킬링 벡터장 $X$ 및 국소 좌표계 $(x^{1},\dots ,x^{n})$이 주어졌으며, 계량 텐서 $g_{\mu \nu }$의 성분이 $x^{1}$에 의존하지 않는다고 하자.

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}}g_{\mu \nu }=0\qquad \forall \mu ,\nu \in \{1,\dots ,n\}$

그렇다면, 벡터장

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}}$

은 킬링 벡터장이다.

유도:

벡터장

$X^{\mu }=\delta _{1}^{\mu }$

이 주어졌을 때,

$X_{\mu }=g_{\mu \nu }X^{\nu }=g_{\mu 1}$

이다. 그렇다면,

$\nabla _{\nu }X_{\mu }+\nabla _{\mu }X_{\nu }=\partial _{\nu }X_{\mu }+\partial _{\mu }X_{\nu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }X_{\rho }=\partial _{\nu }g_{\mu 1}+\partial _{\mu }g_{\nu 1}-(\partial _{\nu }g_{1\mu }+\partial _{\mu }g_{1\nu }-\partial _{1}g_{\mu \nu })=\partial _{1}g_{\mu \nu }$

이다.

슈바르츠실트 계량

 이 부분의 본문은 슈바르츠실트 계량입니다.

$D$차원 시공간의 슈바르츠실트 계량

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(r_{0}/r)^{D-3}\right)dt^{2}+\left(1-(r_{0}/r)^{D-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega _{D-2}^{2}$

에서, $\partial /\partial t$는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는

$g_{tt}=-1+(r_{0}/r)^{D-3}=0$

이 되는 곳, 즉 $r=r_{0}$이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 $\mathrm {SO} (D-1)$ 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

커 계량

 이 부분의 본문은 커 계량입니다.

마찬가지로, 3+1차원 커 계량

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {r_{0}r}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\rho ^{2}\,\mathrm {d} r^{2}}{r^{2}-r_{0}r+\alpha ^{2}}}+\rho ^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{0}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}+{\frac {2r_{0}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi$

$\rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta$

은 두 킬링 벡터

${\frac {\partial }{\partial t}}$

${\frac {\partial }{\partial \phi }}$

를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은

$rr_{0}=\rho ^{2}$

의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

민코프스키 공간

2차원 민코프스키 공간

$\mathbb {R} ^{1,1}=\{(t,x)\}$

$\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}$

에서, 킬링 벡터장

$X=x\partial _{t}+t\partial _{x}$

를 생각하자.^:(3.11) 이는

$\nabla _{i}X_{j}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은

$\{(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x=\pm t\}$

인데, 이는 $x=t=0$에서 매끄럽지 않다.

역사

빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.^{:167, §10}

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(영어: Luther Pfahler Eisenhart, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"(영어: equations of Killing)이라고 지칭하였다.^{:234, (70.2)}

같이 보기

• 킬링 형식

외부 링크

• “Killing vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Killing vectors”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Killing vector field”. 《nLab》 (영어). 
• “Killing spinor”. 《nLab》 (영어). 
• “Killing tensor”. 《nLab》 (영어). 
• “Who first introduced the notion of Killing vector field?” (영어). Math Overflow.