가환대수학 에서 헨젤 환 (Hensel環, 영어 : Henselian ring )은 잉여류체 에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환 이다.
국소 가환환
(
R
,
m
,
κ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}
이 주어졌다고 하자. (여기서
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
은
R
{\displaystyle R}
의 유일한 극대 아이디얼 이며,
κ
=
R
/
m
{\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}
은 그 잉여류체 이다.) 그렇다면, 몫 사상
R
→
κ
{\displaystyle R\to \kappa }
으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형
ϕ
:
R
[
x
]
→
κ
[
x
]
{\displaystyle \phi \colon R[x]\to \kappa [x]}
이 존재한다.
임의의 일계수 다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
ϕ
(
p
)
∈
κ
[
x
]
{\displaystyle \phi (p)\in \kappa [x]}
역시 일계수 다항식 이다. 체 계수의 다항식환 은 유일 인수 분해 정역 이므로,
ϕ
(
p
)
{\displaystyle \phi (p)}
는 다음과 같이 일계수 기약 다항식 들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.
ϕ
(
p
)
=
q
~
1
q
~
2
⋯
q
~
k
{\displaystyle \phi (p)={\tilde {q}}_{1}{\tilde {q}}_{2}\dotsm {\tilde {q}}_{k}}
q
~
1
,
q
~
2
,
…
,
q
~
k
∈
κ
[
x
]
{\displaystyle {\tilde {q}}_{1},{\tilde {q}}_{2},\dotsc ,{\tilde {q}}_{k}\in \kappa [x]}
(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역 이 아니다.)
이제, 이 인수 분해가
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
에서 유래하는지, 즉
ϕ
(
q
i
)
=
q
~
i
(
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
)
{\displaystyle \phi (q_{i})={\tilde {q}}_{i}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,k\})}
p
=
q
1
q
2
⋯
q
k
{\displaystyle p=q_{1}q_{2}\dotsm q_{k}}
가 되는
(
q
i
)
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle (q_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,k\}}}
가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.
특히, 만약
q
~
i
=
(
x
−
a
~
i
)
{\displaystyle {\tilde {q}}_{i}=(x-{\tilde {a}}_{i})}
인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우,
q
i
=
(
x
−
a
i
)
{\displaystyle q_{i}=(x-a_{i})}
라면,
κ
{\displaystyle \kappa }
계수에서 존재하는 근
a
~
i
{\displaystyle {\tilde {a}}_{i}}
가
R
{\displaystyle R}
에서도 존재한다는 것이 된다.
국소 가환환
(
R
,
m
,
κ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 국소 가환환 을 헨젤 국소환 (Hensel局所環, 영어 : Henselian local ring )이라고 한다.
임의의 일계수 다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
및
ϕ
(
p
)
(
a
~
)
=
0
{\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0}
이며
(
d
ϕ
(
p
)
/
d
x
)
(
a
~
)
≠
0
{\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0}
인
a
~
∈
κ
{\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa }
에 대하여,
p
(
a
)
=
0
{\displaystyle p(a)=0}
이자
ϕ
(
a
)
=
a
~
{\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}}
인
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
가 존재한다.
임의의 일계수 다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
및
ϕ
(
p
)
(
a
~
)
=
0
{\displaystyle \phi (p)({\tilde {a}})=0}
이며
(
d
ϕ
(
p
)
/
d
x
)
(
a
~
)
≠
0
{\displaystyle (\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0}
인
a
~
∈
κ
{\displaystyle {\tilde {a}}\in \kappa }
에 대하여,
p
(
a
)
=
0
{\displaystyle p(a)=0}
이자
ϕ
(
a
)
=
a
~
{\displaystyle \phi (a)={\tilde {a}}}
인
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
가 유일하게 존재한다.
임의의 일계수 다항식
p
∈
R
[
x
]
{\displaystyle p\in R[x]}
및
q
~
r
~
=
ϕ
(
p
)
{\displaystyle {\tilde {q}}{\tilde {r}}=\phi (p)}
인
q
~
,
r
~
∈
κ
[
x
]
{\displaystyle {\tilde {q}},{\tilde {r}}\in \kappa [x]}
에 대하여, 만약
gcd
κ
[
x
]
{
q
~
,
r
~
}
=
1
{\displaystyle \textstyle \gcd _{\kappa [x]}\{{\tilde {q}},{\tilde {r}}\}=1}
이라면,
ϕ
(
q
)
=
q
~
{\displaystyle \phi (q)={\tilde {q}}}
,
ϕ
(
r
)
=
r
~
{\displaystyle \phi (r)={\tilde {r}}}
,
p
=
q
r
{\displaystyle p=qr}
인
q
,
r
∈
R
[
x
]
{\displaystyle q,r\in R[x]}
가 존재한다.
만약 헨젤 국소환
(
R
,
m
,
κ
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa )}
의 잉여류체
κ
{\displaystyle \kappa }
가 스스로의 분해 가능 폐포 라면 (
κ
=
κ
sep
{\displaystyle \kappa =\kappa ^{\operatorname {sep} }}
),
R
{\displaystyle R}
를 순 헨젤 국소환 (純Hensel局所環, 영어 : strictly Henselian local ring )이라고 한다.
헨젤 환 은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱 과 동형인 가환환 이다.
헨젤 국소환의 범주
HensLocRing
{\displaystyle \operatorname {HensLocRing} }
는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주
CLocRing
{\displaystyle \operatorname {CLocRing} }
의 충만한 부분 범주 를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주 를 이룬다. 즉, 포함 함자
HensLocRing
↪
CLocRing
{\displaystyle \operatorname {HensLocRing} \hookrightarrow \operatorname {CLocRing} }
의 왼쪽 수반 함자
(
−
)
h
:
CLocRing
→
HensLocRing
{\displaystyle (-)^{\operatorname {h} }\colon \operatorname {CLocRing} \to \operatorname {HensLocRing} }
가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화 (Hensel化, 영어 : henselization )라고 한다. 즉, 국소 가환환
R
{\displaystyle R}
에 대하여, 다음 보편 성질 을 만족시키는 헨젤 국소환
(
R
h
,
m
h
)
{\displaystyle (R^{\operatorname {h} },{\mathfrak {m}}^{\operatorname {h} })}
및 국소환 준동형
h
:
R
→
R
h
{\displaystyle \operatorname {h} \colon R\to R^{\operatorname {h} }}
이 항상 존재하며, 이를
R
{\displaystyle R}
의 헨젤화 라고 한다.
임의의 헨젤 국소환
(
R
′
,
m
′
)
{\displaystyle (R',{\mathfrak {m}}')}
및 국소환 준동형
f
:
R
→
R
′
{\displaystyle f\colon R\to R'}
에 대하여,
f
=
g
∘
h
{\displaystyle f=g\circ \operatorname {h} }
인 국소환 준동형
g
:
R
h
→
R
′
{\displaystyle g\colon R^{\operatorname {h} }\to R'}
이 유일하게 존재한다.
반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주 를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화 (영어 : strict henselization )를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형 을 가져 보편 성질 을 만족시키지 않는다.
다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.
임의의 소수
p
{\displaystyle p}
에 대하여, p진 정수환
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
은 국소 가환환 이며, 그 극대 아이디얼 은
(
p
)
{\displaystyle (p)}
이며, 잉여류체 는 유한체
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식 이
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기 가 0이 아니라면, 이 근은
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실
Z
p
=
lim
←
n
→
∞
F
p
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}}
이므로, 이는 임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여
F
p
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.
이는 합동 산술 의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식
q
∈
Z
[
x
]
{\displaystyle q\in \mathbb {Z} [x]}
이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수
a
~
∈
Z
{\displaystyle {\tilde {a}}\in \mathbb {Z} }
에 대하여
q
(
a
~
)
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle q({\tilde {a}})\equiv 0{\pmod {p}}}
d
q
d
x
(
a
~
)
≢
0
(
mod
p
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}({\tilde {a}})\not \equiv 0{\pmod {p}}}
라고 하자. 그렇다면, 임의의
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
에 대하여,
q
(
a
n
)
≡
0
(
mod
p
k
)
{\displaystyle q(a_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
인
a
n
∈
Z
{\displaystyle a_{n}\in \mathbb {Z} }
이 존재한다.
p
{\displaystyle p}
진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법 에 해당한다. 구체적으로, 만약
q
(
a
k
)
≡
0
(
mod
p
k
)
{\displaystyle q(a_{k})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
(
d
q
/
d
x
)
(
a
k
)
≢
0
(
mod
p
k
)
{\displaystyle (\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
인
a
k
∈
Z
{\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Z} }
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
a
k
+
1
=
a
k
−
q
(
a
k
)
(
d
q
/
d
x
)
(
a
k
)
{\displaystyle a_{k+1}=a_{k}-{\frac {q(a_{k})}{(\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})}}}
로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여
(
(
d
q
/
d
x
)
(
a
k
)
)
−
1
{\displaystyle ((\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k}))^{-1}}
는
p
{\displaystyle p}
진 정수이며, 따라서
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k+1}}
은
p
{\displaystyle p}
진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수 에 따라서
q
(
a
k
)
≡
a
k
+
d
q
d
x
(
a
k
)
(
mod
p
k
+
1
)
{\displaystyle q(a_{k})\equiv a_{k}+{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}(a_{k}){\pmod {p^{k+1}}}}
이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한
p
{\displaystyle p}
진 정수
a
∞
{\displaystyle a_{\infty }}
로 수렴하는 수열
a
1
,
a
2
,
…
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }
을 얻는다.
Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975). 《Henselsche Ringe und algebraische Geometrie》. Mathematische Monographien (독일어) 2 . Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften. MR 0491694 .
Raynaud, Michel (1970). 《Anneaux locaux henséliens》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 169 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0069571 . ISBN 978-3-540-05283-8 . ISSN 0075-8434 . MR 0277519 .