2차원 실수 특수선형군 (二次元實數特殊線型群, 영어 : 2×2 real special linear group )
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
리 군 이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간 의 로런츠 군 으로 여길 수 있다.
다음과 같은 리 군 들은 서로 동형 이다.
2×2 실수 특수선형군
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
2×2 실수 심플렉틱 군
Sp
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )}
부정부호 특수 유니터리 군
SU
(
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}
분할 사원수 대수 (영어 : split-quaternion algebra )
(
⋀
(
i
R
⊕
j
R
⊕
k
R
)
)
/
(
i
j
−
k
,
j
k
+
i
,
k
i
−
j
)
{\displaystyle \left(\bigwedge (i\mathbb {R} \oplus j\mathbb {R} \oplus k\mathbb {R} )\right)/(ij-k,jk+i,ki-j)}
|
a
+
i
b
+
j
c
+
k
d
|
2
=
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
{\displaystyle |a+ib+jc+kd|^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}
3차원 스핀 군
Spin
+
(
2
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)}
다음과 같은 리 군 들은 서로 동형 이다.
2×2 실수 사영 특수선형군
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
중심
{
±
1
2
×
2
}
{\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}}
몫군 이다.
복소수 단위 원판
D
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}
자기 동형군
Aut
(
D
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {D} )}
뫼비우스 변환
PSL
(
2
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}
상반평면
H
=
{
z
∈
C
:
Im
z
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}}
실수 사영 직선
R
P
1
=
R
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}
방향 보존 사영 변환군
3차원 로런츠 군 의 연결 성분
SO
+
(
2
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
R
P
1
=
R
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}
작용 한다.
(
a
b
c
d
)
:
R
∪
{
∞
}
→
R
∪
{
∞
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {R} \cup \{\infty \}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}
(
a
b
c
d
)
:
x
↦
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}}
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
상반평면
H
=
{
z
∈
C
:
Im
z
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}}
작용 한다.
(
a
b
c
d
)
:
H
→
H
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} }
(
a
b
c
d
)
:
z
↦
a
z
+
b
c
z
+
d
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}
이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
딸림표현 을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
PSL
(
2
;
R
)
↪
GL
(
3
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )}
(
a
b
c
d
)
↦
(
a
2
2
a
c
c
2
a
b
a
d
+
b
c
c
d
b
2
2
b
d
d
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{pmatrix}}}
이는 단사 함수 이다.
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
킬링 형식 의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
로런츠 군
SO
+
(
2
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
M
∈
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle M\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
|
tr
M
|
<
2
{\displaystyle |\operatorname {tr} M|<2}
(
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
θ
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}
타원형 원소 (楕圓型元素, 영어 : elliptic element )라고 한다.
tr
M
=
±
2
{\displaystyle \operatorname {tr} M=\pm 2}
±
(
1
s
0
1
)
{\displaystyle \pm {\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}}}
s
∈
{
−
1
,
0
,
+
1
}
{\displaystyle s\in \{-1,0,+1\}}
포물선형 원소 (抛物線型元素, 영어 : parabolic element )라고 한다.
±
tr
M
>
2
{\displaystyle \pm \operatorname {tr} M>2}
±
diag
(
exp
(
t
)
,
exp
(
−
t
)
)
{\displaystyle \pm \operatorname {diag} (\exp(t),\exp(-t))}
t
∈
R
+
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}
쌍곡선형 원소 (雙曲線型元素, 영어 : hyperbolic element )라고 한다.
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
비가산 군이며, 아벨 군 이 아니다.
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
중심 은
{
±
1
2
×
2
}
{\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}}
몫군
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
단순군 이다.
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
이산 부분군 은 푹스 군 모듈러 군
PSL
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}
원군
SO
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}
PSL
(
2
;
R
)
≅
SO
+
(
2
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
연결 3차원 매끄러운 다양체 이며, 콤팩트 공간 이 아니다.
위상수학적으로,
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
T
H
{\displaystyle T\mathbb {H} }
원다발 의 전체 공간과 위상동형이다.
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
원다발 의 두 겹 피복 공간 이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
축약 가능 공간 이며, 따라서
PSL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
호모토피 동치 이다. 즉, 그 호모토피 군 은 다음과 같다.
π
n
(
PSL
(
2
;
R
)
≅
π
n
(
SL
(
2
;
R
)
)
≅
{
1
n
≠
1
Z
n
=
1
{\displaystyle \pi _{n}(\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \pi _{n}(\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong {\begin{cases}1&n\neq 1\\\mathbb {Z} &n=1\end{cases}}}
범피복 공간
SL
(
2
;
R
)
~
{\displaystyle {\widetilde {\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}}}
리만 계량 을 부여한다면, 이는 기하화 추측 에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
n
=
0
,
1
,
…
{\displaystyle n=0,1,\dots }
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
SL
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}
영어 : admissible representation )은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.
모든 0이 아닌 정수
μ
∈
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle \mu \in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}
이산열 표현 (離散列表現, 영어 : discrete series representation )
D
μ
{\displaystyle D_{\mu }}
이산열 표현의 극한
D
+
0
{\displaystyle D_{+0}}
D
−
0
{\displaystyle D_{-0}}
주열 표현 (主列表現, 영어 : principal series representation )
I
ϵ
,
μ
{\displaystyle I_{\epsilon ,\mu }}
μ
∈
C
{\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }
ϵ
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}}
ϵ
≠
−
(
−
1
)
μ
{\displaystyle \epsilon \neq -(-1)^{\mu }}
I
ϵ
,
μ
{\displaystyle I_{\epsilon ,\mu }}
I
ϵ
,
−
μ
{\displaystyle I_{\epsilon ,-\mu }}
이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.
모든 이산열 표현
D
μ
{\displaystyle D_{\mu }}
D
±
0
{\displaystyle D_{\pm 0}}
주열 표현
I
±
,
i
μ
{\displaystyle I_{\pm ,i\mu }}
μ
∈
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
주열 표현
I
+
,
μ
{\displaystyle I_{+,\mu }}
0
<
|
μ
|
<
1
{\displaystyle 0<|\mu |<1}
