사유한군

수학에서 사유한군(射有限群, 영어: profinite group)은 유한군의 사영 극한으로 얻어지는 위상군이다.

정의

위상군 $G$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상군을 사유한군이라고 한다.^[1]^{:5, Proposition 1.1.3}

하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

증명 (넷째 조건 ⇒ 첫째 조건):

다음 사실들로부터 따라온다.

하우스도르프 위상군들의 사영 극한은 직접곱의 닫힌 부분군이며, 여기에 곱위상의 부분 공간 위상을 준다.
콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다.
완전 분리 공간의 곱공간 및 부분 집합은 완전 분리 공간이다.
유한 이산 공간은 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이다.

증명 (첫째 조건 ⇒ 둘째 조건):

위상군 $G$ 가 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 공간이며, 완전 분리 공간이라고 하자. 임의의 열린 근방 $O\ni 1$ 에 대하여, $H\subseteq O$ 인 열린 부분군 $H$ 를 찾으면 충분하다. 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간의 작은 귀납적 차원은 0이므로, $G$ 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 가지며, $1\in U\subseteq O$ 인 열린닫힌집합 $U$ 가 존재한다. 이제,

H=\{g\in G\colon Ug=U\}

라고 하자. 자명하게 $H\subseteq U$ 이며 $H\leq G$ 이므로, $H$ 가 열린집합임을 보이면 충분하다.

H=V\cap V^{-1}

V=\{g\in G\colon Ug\subseteq U\}

이므로, $V$ 가 열린집합임을 보이면 충분하다. $V$ 의 정의에 따라, 임의의 $u\in U$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $uv\in U$ 이므로, $U_{uv}V_{uv}\subseteq U$ 인 열린 근방 $U_{uv}\ni u$ 및 $V_{uv}\ni v$ 가 존재한다. $\{U_{uv}\colon u\in U\}$ 는 $U$ 의 $X$ 에서의 열린 덮개이며, $U$ 는 콤팩트 공간의 닫힌집합이므로 콤팩트 공간이다. 따라서, 유한 부분 덮개 $\{U_{u_{1}v},\dots ,U_{u_{n_{v}}v}\}$ 가 존재한다. 그렇다면,

V_{v}=V_{u_{1}v}\cap \cdots \cap V_{u_{n_{v}}v}

는 열린집합이며, $v\in V_{v}\subseteq V$ 이다. 즉, $V$ 는 열린집합이다.

증명 (둘째 조건 ⇒ 셋째 조건):

임의의 열린 부분군 $H\leq G$ 에 대하여,

G=\bigsqcup _{gH\in G/H}gH

이며, $G$ 가 콤팩트 위상군이므로, $H$ 의 지표는 유한하다. $H$ 의 켤레 부분군들의 수는 $H$ 의 정규화 부분군의 지표 $|G:\operatorname {N} _{G}(H)|$ 이므로, 역시 유한하다. 이제,

N=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}

라고 하자. $N$ 은 $G$ 의 정규 부분군이며, $N\subseteq H$ 이다. 또한, 유한한 수의 열린집합의 교집합이므로, 열린집합이다.

증명 (셋째 조건 ⇒ 넷째 조건):

${\mathcal {N}}$ 이 $G$ 의 열린 정규 부분군들의 집합이라고 하자. 가정에 따라, ${\mathcal {N}}$ 은 1의 국소 기저이다. 임의의 $N\in {\mathcal {N}}$ 에 대하여, 몫군 $G/N$ 은 몫위상을 주었을 때 위상군을 이룬다. $G/N$ 은 콤팩트 공간의 연속적 상이므로 콤팩트 공간이며, $N\in G/N$ 의 원상 $N\subseteq G$ 가 열린집합이므로 이산 공간이다. 특히, $G/N$ 은 유한군이다. 또한, ${\mathcal {N}}$ 은 (포함 관계에 대하여) 하향 원순서 집합을 이루므로, 표준적인 전사 연속 군 준동형

\phi _{NN'}\colon G/N'\to G/N\qquad (N'\subseteq N)

들을 사용하여 사영 극한

\varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N

을 정의할 수 있다.

이제, 표준적인 전사 연속 군 준동형

\phi _{N}\colon G\to G/N

을 생각하자. 사영 극한의 보편 성질에 따라, 연속 군 준동형

\phi \colon G\to \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N

\pi _{N}\circ \phi =\phi _{N}\qquad \forall N\in {\mathcal {N}}

이 존재한다. $\phi$ 가 위상군의 동형임을 보이면 충분하다. 그런데 $G$ 와 $\varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N$ 모두 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, $\phi$ 가 전단사 함수임을 보이면 충분하다.

$\phi$ 는 단사 함수
- $\ker \phi =\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}N$ 이다. ${\mathcal {N}}$ 이 1의 국소 기저이며, $G$ 가 하우스도르프 공간이므로, $\ker \phi =\{1\}$ 이다.
$\phi$ 는 전사 함수
- 임의의 $x=(x_{N})_{N\in {\mathcal {N}}}\in \varprojlim _{N\in {\mathcal {N}}}G/N$ 에 대하여, $\phi ^{-1}(x)=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}\phi _{N}^{-1}(x_{N})$ 이다. 모든 $\phi _{N}^{-1}(x_{N})$ 은 콤팩트 공간 $G$ 의 닫힌집합이다. 임의의 유한 집합 $\{N_{1},\dots ,N_{n}\}\subseteq {\mathcal {N}}$ 에 대하여, $N=N_{1}\cap \cdots \cap N_{n}$ 이며 $x_{N}=\phi _{N}(g)$ 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $i=1,\dots ,n$ 에 대하여, $\phi _{N_{i}}(g)=\phi _{N_{i}N}(\phi _{N}(g))=\phi _{N_{i}N}(x_{N})=x_{N_{i}}$ 이다. 즉, $\phi _{N_{1}}^{-1}(x_{N_{1}})\cap \cdots \cap \phi _{N_{n}}^{-1}(x_{N_{n}})\neq \varnothing$ 이며, $\phi _{N}^{-1}(x_{N})$ 들은 유한 교집합 성질을 만족시킨다. 따라서, $\phi ^{-1}(x)\neq \varnothing$ 이다.

성질

다음 성질들이 성립한다.

(무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.

증명:

콤팩트 공간의 곱공간 및 닫힌집합은 콤팩트 공간이다. 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간의 곱공간 및 임의의 부분 집합은 하우스도르프 공간이나 완전 분리 공간이다. 따라서, 사유한군들의 직접곱 및 닫힌 부분군은 사유한군이다.

콤팩트 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 동치이다. 특히, 이는 사유한군에서도 성립한다.

사유한 완비화

임의의 군 $G$ 의 사유한 완비화(射有限完備化, 영어: profinite completion) ${\widehat {G}}$ 는 다음과 같다.

{\widehat {G}}=\varprojlim _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N

즉, $G$ 의 모든 유한 지표 정규 부분군 $N$ 에 대한 몫군들의 사영 극한이다. ${\widehat {G}}$ 는 자연스럽게 사유한군을 이룬다. 또한, 자연스러운 군 준동형 $G\to {\widehat {G}}$ 가 존재하며, 이 준동형의 상은 ${\widehat {G}}$ 의 조밀 집합이다. 일반적으로 이는 단사 사상이 아니다.

또한, 일반적으로 사유한 완비화 연산은 멱등이 아니다. 즉, ${\widehat {\widehat {G}}}\not \cong {\widehat {G}}$ 일 수 있다.

사유한 완비화는 사유한군의 범주 ${\widehat {\operatorname {Grp} }}$ 와 군의 범주 $\operatorname {Grp}$ 사이의 망각 함자

F\colon {\widehat {\operatorname {Grp} }}\to \operatorname {Grp}

의 왼쪽 수반 함자

{\widehat {\phantom {G}}}\colon \operatorname {Grp} \to {\widehat {\operatorname {Grp} }}

{\widehat {\phantom {G}}}\vdash F

를 이룬다.^[2]^:345

함자의 구성:

사유한 완비화 ${\widehat {G}}$ 는 다음 조건을 만족시키는 원소

(g_{N}N)_{N}\in \prod _{\scriptstyle N\vartriangleleft G \atop \scriptstyle [G:N]<\aleph _{0}}G/N

들로 구성된 (이산 위상의 곱위상의 부분공간 위상을 부여한) 위상군으로 여길 수 있다.

임의의 유한 지표 정규 부분군 $N\subset N'\subset G$ 에 대하여, $g_{N}N'=g_{N'}N'$

그렇다면, 사유한 완비화 함자에서, 군 준동형

\phi \colon G\to H

의 상은 다음과 같은 위상군의 사상이다.

{\widehat {\phi }}\colon {\widehat {G}}\to {\widehat {H}}

{\widehat {\phi }}\colon (g_{N}N)_{N}\mapsto (\phi (g_{\phi ^{-1}(N')})N')_{N'}

예

모든 이산 유한군은 사유한군이다.

p진 정수 $\mathbb {Z} _{p}$ 는 사유한군을 이룬다. 이는 순환군 $\mathbb {Z} /p^{n}$ 들의 사영 극한으로 정의된다. 정수군 $\mathbb {Z}$ 의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

{\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L/K$ 가 주어지면 $K$ 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 $F/K$ 들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.^[3]

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다. (그러나 대수적 위상수학의 기본군들은 일반적으로 사유한군이 아니다.)

참고 문헌

↑ Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). 《Cohomology of number fields》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 323 2판. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-37889-1. ISBN 978-3-540-37888-4. ISSN 0072-7830. LCCN 2008921043. MR 2392026. Zbl 1136.11001.
↑ Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.
↑ Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.

Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). 《Field arithmetic》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 11 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds” (영어). arXiv:math/0604399.
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). “On finitely generated profinite groups. II. Products in quasisimple groups” (영어). arXiv:math/0604400.
Serre, Jean-Pierre (1994). 《Cohomologie galoisienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 5 5판. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0108758. ISBN 978-3-540-58002-7. MR 1324577. Zbl 0812.12002.

외부 링크

“Profinite group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Profinite group”. 《nLab》 (영어).
“Profinite completion of a group”. 《nLab》 (영어).
“Profinite completion of the integers”. 《nLab》 (영어).
“Profinite group”. 《Groupprops》 (영어).
“Profinite completion”. 《Groupprops》 (영어).
“Profinite completion of the integers”. 《Groupprops》 (영어).

[NSW2-1] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). 《Cohomology of number fields》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 323 2판. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-37889-1. ISBN 978-3-540-37888-4. ISSN 0072-7830. LCCN 2008921043. MR 2392026. Zbl 1136.11001.

[Horel-2] Horel, Geoffroy (2017). “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group” (영어) 321: 326-390. arXiv:1504.01605. doi:10.1016/j.aim.2017.09.030. ISSN 0001-8708. MR 3715714. Zbl 1385.55007.

[3] Waterhouse, William C. (1974). “Profinite groups are Galois groups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) (American Mathematical Society) 42 (2): 639–640. doi:10.2307/2039560. JSTOR 2039560. Zbl 0281.20031.

[1]

[2]

[3]