벡터 다발

위상수학 및 미분기하학에서 벡터 다발(영어: vector bundle)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 위상환 $K$
• $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$
• 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow X$
• 각 $x\in X$에 대하여, 올 $E_{x}=\pi ^{-1}(x)$ 위의 $K$-위상 왼쪽 가군 구조

만약 $X$가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$ 및 위상 동형 사상들의 족

$\left(\phi _{i}\colon U\times V\to \pi ^{-1}(U)\right)_{i\in I}$

를 가질 수 있다면, 올다발 $(X,E,\pi )$를 올 $V$의 왼쪽 가군 다발(-加群-, 영어: left module bundle)이라 한다.

임의의 $i\in I$ 및 $x\in U_{i}$에 대하여 $\phi _{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi _{i}(x,v)$는 $V$와 올 $E_{x}$ 사이의 $K$-위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다.

위와 같은 구조 $(U_{i},\phi _{i})_{i\in I}$를 $E$의 국소 자명화(局所自明化, 영어: local trivialization)라고 한다. 그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 오른쪽 가군 다발(-加群-, 영어: right module bundle)을 정의할 수 있다. 만약 $K$가 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 위상환 $K$가 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 벡터 다발이라 한다.

만약 $K$가 위상체이며 $V=K$일 경우, 올이 $K$인 벡터 다발을 선다발(線다발, 영어: line bundle)이라고 한다.

만약 $V$가 바나흐 공간일 경우 올이 $V$인 벡터 다발을 바나흐 다발(영어: Banach bundle)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 힐베르트 다발(영어: Hilbert bundle)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 국소 볼록 벡터 다발(영어: locally convex vector bundle)을 정의할 수 있다.

매끄러운 벡터 다발

미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $X$
• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$
• 매끄러운 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow X$
• 각 $x\in X$에 대하여, 올 $E_{x}=\pi ^{-1}(x)$ 위의 $n$차원 실수 벡터 공간 구조

만약 $X$가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$ 및 미분 동형 사상들의 족

$\left(\phi _{i}\colon U\times \mathbb {R} ^{n}\to \pi ^{-1}(U)\right)_{i\in I}$

를 가질 수 있다면, 올다발 $(X,E,\pi )$를 $n$차원 매끄러운 벡터 다발(-vector-, 영어: smooth vector bundle)이라 한다.

임의의 $i\in I$ 및 $x\in U_{i}$에 대하여 $\phi _{i}(x,-)\colon v\mapsto \phi _{i}(x,v)$는 $V$와 올 $E_{x}$ 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

벡터 다발 사상

위상 공간 $X$와 위상환 $K$가 주어졌다고 하자. $X$ 위의 두 $K$-왼쪽 가군 다발 $E,E'\twoheadrightarrow X$ 사이의 가군 다발 사상(加群-寫像, 영어: module bundle morphism) $f\colon E\to E'$은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $f$로 정의되는 함수 $E_{x}\to E'_{x}$는 $K$-위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 $K$-가군 준동형이다).

마찬가지로, 매끄러운 다양체 $X$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,E'\twoheadrightarrow X$ 사이의 매끄러운 벡터 다발 사상(-vector-寫像, 영어: smooth vector bundle morphism)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.

연산

위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

직합

위상 공간 $X$ 위의, 같은 위상환 $K$에 대한 왼쪽 가군 다발 $E,E'\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 직합 $E\oplus E'$을 정의할 수 있다. 각 $x\in X$에서 $E\oplus E'$의 올은 다음과 같다.

$(E\oplus E')_{x}=E_{x}\oplus E'_{x}$

만약 $X$가 매끄러운 다양체이며, $E$와 $E'$이 매끄러운 벡터 다발이라면 $E\oplus E'$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

텐서곱

위상 공간 $X$ 위의, 같은 가환 위상환 $K$에 대한 가군 다발 $E,E'\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 텐서곱 $E\otimes _{K}E'$을 정의할 수 있다. 각 $x\in X$에서 $E\otimes _{K}E'$의 올은 다음과 같다.

$(E\otimes _{K}E')_{x}=E_{x}\otimes _{K}E'_{x}$

만약 $X$가 매끄러운 다양체이며, $E$와 $E'$이 매끄러운 벡터 다발이라면 $E\otimes _{\mathbb {R} }E'$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

쌍대 벡터 다발

위상 공간 $X$ 위의, 위상체 $K$에 대한 벡터 다발 $E$의 쌍대 벡터 다발(雙對vector다발, 영어: dual vector bundle) $E^{*}$는 각 올이 $E$의 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다.

$E_{x}^{*}=(E_{x})'$

만약 $X$가 매끄러운 다양체이며, $E$가 매끄러운 벡터 다발이라면 $E^{*}$ 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

성질

위상 공간 $X$ 위의, 위상체 $K$에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 핵과 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)

코쥘 접속

 이 부분의 본문은 코쥘 접속입니다.

벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속인 코쥘 접속이라는 구조를 정의할 수 있다.

분류

 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.

위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 위상 K이론이라는 환으로 분류된다.

예

자명한 벡터 다발

임의의 위상 공간 $X$ 및 위상 벡터 공간 $V$에 대하여, $X\times V$는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 $X$가 매끄러운 다양체이며 $V=\mathbb {R} ^{n}$이 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

접다발

 이 부분의 본문은 접다발입니다.

임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

연관 벡터 다발

 이 부분의 본문은 연관 벡터 다발입니다.

위상 공간 $X$ 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, $X$ 위에 연관 벡터 다발이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

이산 공간

한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 $K$-벡터 다발의 개념은 $K$-위상 벡터 공간의 개념과 동치이며, 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

같이 보기

• 그라스만 다양체
• 코쥘 접속
• 특성류
• 피카르 군
• 선다발(flux, 선속)

외부 링크

• “Vector bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Line bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Module bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Direct sum of vector bundles”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of vector bundles”. 《nLab》 (영어). 
• “Dual vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Real vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Complex vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Line bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Banach bundle”. 《nLab》 (영어).