국소화 (환론)

환론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화

보편 성질

$R$가 가환환이고, $S\subseteq R$가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, $R$의 $S$에 대한 국소화 $(S^{-1}R,\phi )$는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 $S^{-1}R$ 및 환 준동형 $\phi \colon R\to S^{-1}R$으로 구성된다.

1. 임의의 $s\in S\subseteq R$에 대하여, $\phi (s)\in S^{-1}R$는 가역원이다.
2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 $R'$ 및 환 준동형 $\phi '\colon R\to R'$에 대하여, $\phi '=\chi \circ \phi$이 되는 환 준동형 $\chi \colon S^{-1}R\to R'$가 유일하게 존재한다.

${\begin{matrix}R&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}R\\&{\scriptstyle \phi '}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&R'\end{matrix}}$

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 보편 성질은 $S$가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 $S$를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 $S$가 곱셈 모노이드가 아니고, ${\tilde {S}}$가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 $S^{-1}R={\tilde {S}}^{-1}R$가 된다.

구성

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

$R\times S$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 $r,r'\in R$, $s,s'\in S$이고 $t(rs'-r's)=0$인 $t\in S$가 있다면

$(r,s)\sim (r',s')$

으로 정의한다. 그렇다면 $S^{-1}R=(R\times S)/{\sim }$로 놓자. 이는 대략 $(r,s)$를 $r/s$와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 $(r,s)$를 $r/s$로 쓰자.

$S^{-1}R$ 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

${\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}$

${\frac {r}{s}}{\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}$.

또한, $R\to S^{-1}R$로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

$r\mapsto {\frac {r}{1}}$.

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화

가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 $R$ 및 부분 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 국소화 $\phi \colon R\to S^{-1}R$를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 $\operatorname {Ring}$에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,^{:289, Proposition (4.9.2)} 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

• (A) $S^{-1}R$의 모든 원소 $x$에 대하여, $xs=r$가 되는 $s\in S$ 및 $r\in R$가 존재한다.^{:288, (4.9.1a)}
• (A′) $S^{-1}R$의 모든 원소 $x$에 대하여, $xs=r$가 되는 $s\in S$ 및 $r\in R$가 존재한다.
• (B) $\phi \colon R\to S^{-1}R$의 핵은 $\ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}$이다.^{:288, (4.9.1b)}
• (B′) $\phi \colon R\to S^{-1}R$의 핵은 $\ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}$이다.
• (C) $R\neq 0$이며 $0\not \in S$라면 $S^{-1}R\neq 0$이다.^{:289, Example (4.9.3)}

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 $S$-가역화 환(普遍$S$-可逆化環, 영어: universal $S$-inverting ring)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 $\hom _{\operatorname {Ring} }(R,-)$ 속의, $S$를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

$G_{S}\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Set}$

$G_{S}(R')=\left\{\phi \in \hom _{\operatorname {Ring} }(R,R')\colon \phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')\right\}$

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 $F_{S}\dashv G_{S}$를 가지며, 따라서 $G_{S}$는 표현 가능 함자이다. 즉,

$G_{S}(-)=\hom _{\operatorname {Ring} }(F_{S}(\{\bullet \}),-)$

로 생각할 수 있으며, $F_{S}(\{\bullet \})$는 국소화 $S^{-1}R$를 이룬다.

만약 $R$가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 $S^{-1}R$는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

구성

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.^{:Proposition (4.9.2)} 환 $R$의 표시

$R\cong \langle \{r_{i}\}_{i\in I}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\rangle$

를 고르자. 즉, 생성원 $r_{i}$와 관계 $\phi _{j}$로 나타내자. 그렇다면, 각 $s\in S$에 대하여 생성원 $s^{*}$를 추가하고, 또 관계

$ss^{*}=s^{*}s=1$

를 추가하자. 그렇다면

$S^{-1}R=\left\langle \{r_{i}\}_{i\in I}\sqcup \{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi _{j}\}_{j\in J}\cup \{ss^{*}-1\}_{s\in S}\cup \{s^{*}s-1\}_{s\in S}\right\rangle$

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서, $S^{-1}R$의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

$\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{(1)}(s_{1}^{(1)})^{-1}r_{i}^{(2)}(s_{1}^{(2)})^{-1}\cdots r_{i}^{(k_{i})}(s_{1}^{(k_{i})})^{-1}$

오레 국소화

비가환환 $R$의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.

• $Sr\cap Rs\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S$
• $\left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad \forall r\in R$

마찬가지로, $R$와 부분 모노이드 $S\subseteq R$가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.

• $rS\cap sR\neq \varnothing \quad \forall r\in R,\;s\in S$
• $\left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad \forall r\in R$

$(R,S)$가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 $R\times S$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

$(r,s)\sim (r',s')\iff \exists {\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S\colon {\tilde {s}}s'-{\tilde {r}}s={\tilde {s}}r'-{\tilde {r}}r=0$

그렇다면 $S^{-1}R$는 집합으로서 몫집합 $(R\times S)/{\sim }$이다. $(r,s)$의 동치류를 $s^{-1}r$로 표기하자. $S^{-1}R$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

$(s^{-1}r)(s'^{-1}r')=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r)$

여기서 ${\tilde {r}}s'={\tilde {s}}r$인 ${\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=rs'^{-1}$"

로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, $S^{-1}R$ 위의 덧셈은 다음과 같다.

$s^{-1}r+s'^{-1}r'=({\tilde {s}}s)^{-1}({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r')\qquad ({\tilde {r}}\in R,\quad {\tilde {s}}\in S,\quad {\tilde {s}}s={\tilde {r}}s')$

여기서 ${\tilde {s}}s={\tilde {r}}s'$인 ${\tilde {r}}\in R,{\tilde {s}}\in S$는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

"${\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}=ss'^{-1}$"

로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

"$s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+{\tilde {s}}^{-1}{\tilde {r}}r'\right)=s^{-1}{\tilde {s}}^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)=({\tilde {s}}s)^{-1}\left({\tilde {s}}r+{\tilde {r}}r'\right)$"

로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 $S^{-1}R$를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.^{:Corollary (4.10.11)}

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화

환 $R$의 곱셈에 대한 부분 모노이드 $S\subseteq R$ 및 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 $S$에서의 국소화 $S^{-1}M$은 $S^{-1}R$ 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

$S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M$

또한, 표준적인 $R$-왼쪽 가군 사상 $\phi \colon M\to S^{-1}M$가 존재한다.

이는 함자

$(S^{-1}R\otimes _{R})\colon {{}_{R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }$

를 정의하며, 환 준동형 $R\to S^{-1}R$에 의한 망각 함자

$F\colon {{}_{S^{-1}R}\operatorname {Mod} }\to {{}_{R}\operatorname {Mod} }$

의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 $R$-왼쪽 가군의 준동형 $\phi _{N}\colon M\to N$에 대하여, 만약 임의의 $s\in S$에 대하여 $s\cdot \colon N\to N$이 전단사 함수라면, $\phi _{N}=\chi \circ \phi$인 $R$-왼쪽 가군 준동형 $\chi \colon S^{-1}M\to N$이 존재한다.

${\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi }}&S^{-1}M\\&{\scriptstyle \phi _{N}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !\chi \\&&N\end{matrix}}$

구성

$R$가 가환환일 때, 가군의 국소화 $S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes _{R}M$는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

$S\times M$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

$(s,m)\sim (s',m')\iff \exists t\in S\colon ts'm=tsm'$

$S^{-1}M$은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. $(s,m)\in S\times M$의 동치류를 $m/s$로 표기하자. 그렇다면, $S^{-1}M$ 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

${\frac {m}{s}}+{\frac {m'}{s'}}={\frac {s'm+sm'}{ss'}}\qquad \forall m,m'\in M,\;s,s'\in S$

${\frac {r}{s}}{\frac {m}{s'}}={\frac {rm}{ss'}}\qquad \forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R$

성질

소 아이디얼

가환환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 국소화 $\phi \colon R\to S^{-1}R$의 소 아이디얼들은 $R$의 소 아이디얼 가운데 $S$와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

$f\colon \operatorname {Spec} (S^{-1}R)\to \{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p}}\cap S=\varnothing \}$

$f\colon {\mathfrak {q}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {q}})$

여기서 $\phi \colon R\to S^{-1}R$는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히, $R$의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, $R_{\mathfrak {p}}$는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 ${\mathfrak {p}}$에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성

가환환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 표준적 환 준동형 $R\to S^{-1}R$가 단사 함수이다.
• $S$는 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 단사 가군 $I$ 및 임의의 원소 $r\in R$에 대하여, $I\to I_{r}$는 전사 함수이다.^{:214, Lemma III.3.3}

오레 조건의 필요충분성

환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:300, Theorem (4.10.6)}

• $(R,S)$는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 $\phi \colon R\to R'$이 존재한다.
  • $\phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')$
  • $R'=\phi (S)^{-1}\phi (R)$
  • $\ker \phi =\{r\in R\colon 0\in Sr\}$

또한, 이러한 조건을 만족시키는 $\phi \colon R\to R'$는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.^{:302, Corollary (4.10.11)}

마찬가지로, 환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(R,S)$는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
• 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형 $\phi \colon R\to R'$이 존재한다.
  • $\phi (S)\subseteq \operatorname {Unit} (R')$
  • $R'=\phi (R)\phi (S)^{-1}$
  • $\ker \phi =\{r\in R\colon 0\in rS\}$

특히, 만약 $R$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

예

(비가환일 수 있는) 환 $R$ 및 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$가 주어졌다고 하자.

• $0\in S$이라고 하자. 그렇다면 항상 $S^{-1}R=0$ (자명환)이다. 만약 $R$가 가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
• $S=\{1\}$이라고 하자. 그렇다면 항상 $S^{-1}R=R$이다.

분수체

 이 부분의 본문은 분수체입니다.

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$에 대하여,

$S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)$

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, $(R,S)$가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 $S^{-1}R$를 $R$의 전분수환 $\operatorname {Frac} R$라고 한다.

특히, 만약 $R$가 (가환) 정역이라면 $S=R\setminus \{0\}$이며, $\operatorname {Frac} R$는 체를 이룬다. 이 경우, $\operatorname {Frac} R$는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 $S\subseteq R\setminus \{0\}$가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 $R\to S^{-1}R$은 다음과 같이 $R\to \operatorname {Frac} R$의 일부분을 이룬다.

$R\to S^{-1}R\to \operatorname {Frac} R$

이에 따라 $S^{-1}R$는 항상 분수체 $\operatorname {Frac} R$의 부분환을 이룬다.

정수환

정수환 $\mathbb {Z}$의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 $(p)$ 또는 영 아이디얼 $(0)$이다.

정수환 $\mathbb {Z}$를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

$\mathbb {Z} _{(p)}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq \mathbb {Q}$

$\mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q}$

즉, 분모가 $p$의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, $\mathbb {Z} _{(p)}$는 이산 값매김환이며, $\mathbb {Z} _{(0)}=\mathbb {Q}$는 체이다.

정수환의 $\mathbb {Z}$를 원소 $k\in \mathbb {Z}$에서 국소화하면 다음과 같다.

$\mathbb {Z} _{k}=\{m/k^{n}\colon \gcd\{m,k\}=1,\;n\in \mathbb {N} \}\subsetneq \mathbb {Q} \qquad (k\neq 0)$

$\mathbb {Z} _{0}=0$ (자명환)

즉, 분모가 $k$의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 $\mathbb {Z} _{p}$로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환

정수환의 몫환 $R=\mathbb {Z} /(n)$을 생각해 보자. $n$이 소수의 거듭제곱이라면 $S=\{1\}$이거나 $0\in S$이다. 만약 $n=ab$이고, $a$와 $b$가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 $\mathbb {Z} /ab=\mathbb {Z} /a\times \mathbb {Z} /b$이다. 그렇다면 $S=\{(1,0),(1,1)\}$이 가능한데, 이 경우 $S^{-1}R=\mathbb {Z} /b$이다.

비가환환의 자명한 국소화

체 $K$ 및 정수 $n\geq 2$에 대하여, 행렬환 $\operatorname {Mat} (K;n)$을 생각하자. $E_{i,j}$가 $(i,j)$에서 성분 $1\in K$을 가지며, 나머지 성분이 모두 $0\in K$인 행렬이라고 하자. 그렇다면, $S=\{1,E_{i,j}\}$일 때, 국소화 $S^{-1}\operatorname {Mat} (K;n)$는 자명환이다.^{:289–290, Example (4.9.3)}

응용

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.^:xvi

• 원소 $f\in R$가 주어진 경우, $R_{f}$는 $S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 $f$가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 $U_{f}\subset \operatorname {Spec} R$에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 $k[x]$의 경우 $k[x]_{x}=k[x,x^{-1}]$는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 $\{x\neq 0\}=\mathbb {A} _{k}^{1}\setminus \{0\}$ 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, $\{x\neq 0\}$으로 국한된 것을 알 수 있다.
• 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in R$가 주어진 경우, $R_{\mathfrak {p}}$는 $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$의 자리스키 폐포 $V({\mathfrak {p}})$의 근방에 국한한 것이다.
  • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 $k[x]$를 극대 아이디얼 $(x)$에서 국소화하면 유리 함수체 $k[x]_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x],g(0)\neq 0\}$을 얻는다. 이는 $x=0$의 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, $x=0$의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

역사

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^:299:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.^:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^:300)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)가 도입하였다.^:57

각주

• Ranicki, Andrew, 편집. (2006년 2월). 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 
  • Škoda, Zoran (2006년 2월). 〈Noncommutative localization in noncommutative geometry〉. Ranicki, Andrew. 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. arXiv:math/0403276. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 

같이 보기

• 국소환
• 값매김환

외부 링크

• “Localization in a commutative algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Fractions, ring of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Localization”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Localization of a ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Localization of a commutative ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Localization of a module”. 《nLab》 (영어). 
• “Universal localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Commutative localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore set”. 《nLab》 (영어). 
• “Ore domain”. 《nLab》 (영어). 
• Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 26일). “Ore condition”. 《Abstract Algebra》 (영어). 2016년 3월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 5일에 확인함. 
• “Noncommutative localization of a ring: complete construction” (영어). Math Overflow. 2016년 3월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 5일에 확인함.