체론 에서 체의 확대 (體의 擴大, 영어 : field extension )는 주어진 체 에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
두 체
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
확대 는
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
환 준동형 이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환 의 준동형보다 더 강한 조건이다.)
체의 확대는 항상 단사 함수 이며, 따라서
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
부분체 (部分體, 영어 : subfield ), 반대로
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
확대체 (擴大體, 영어 : extension field )라고 한다.
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
일련의 체
K
0
,
K
1
,
…
,
K
n
{\displaystyle K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}}
K
0
⊆
K
1
⊆
⋯
⊆
K
n
{\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}}
를 이룰 때,
{
K
i
}
i
=
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle \{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}}
체의 탑 (體의 塔, 영어 : tower of fields )이라고 한다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 를 이루며, 특히 벡터 공간 을 이룬다. 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
차수 (次數, 영어 : degree )는
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
[
L
:
K
]
{\displaystyle [L:K]}
차수가 유한한 확대를 유한 확대 (無限擴大, 영어 : finite extension )라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수 이며, 이는 체의 자기 동형 에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대 (二次擴大, 영어 : quadratic extension ), 차수가 3인 확대는 삼차 확대 (三次擴大, 영어 : cubic extension )라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
S
⊂
L
{\displaystyle S\subset L}
p
∈
K
[
|
S
|
]
{\displaystyle p\in K[|S|]}
p
(
S
)
=
0
{\displaystyle p(S)=0}
p
=
0
{\displaystyle p=0}
S
{\displaystyle S}
대수적 독립 집합 (영어 : algebraically independent set )이라고 한다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
초월 차수 (영어 : transcendence degree )는
L
{\displaystyle L}
크기 이며,
trdeg
K
L
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L}
대수적 확대 (代數的擴大, 영어 : algebraic extension )라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대 (超越擴大, 영어 : transcendental extension )라고 한다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
초월 기저 (超越基底, 영어 : transcendence basis )
S
{\displaystyle S}
L
/
K
(
S
)
{\displaystyle L/K(S)}
S
⊂
L
{\displaystyle S\subset L}
L
=
K
(
S
)
{\displaystyle L=K(S)}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
순수 초월 확대 (純粹超越擴大, 영어 : purely transcendental extension )라고 한다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
a
{\displaystyle a}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
초월 원소 (超越元素, 영어 : transcendental element )라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소 (代數的元素, 영어 : algebraic element )라고 한다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
부분 집합
S
⊂
L
{\displaystyle S\subset L}
L
{\displaystyle L}
S
{\displaystyle S}
K
{\displaystyle K}
K
(
S
)
{\displaystyle K(S)}
S
∪
K
{\displaystyle S\cup K}
L
{\displaystyle L}
K
[
S
]
⊆
L
{\displaystyle K[S]\subseteq L}
S
{\displaystyle S}
K
{\displaystyle K}
K
(
S
)
{\displaystyle K(S)}
K
[
S
]
{\displaystyle K[S]}
분수체 와 동형이다.
K
(
S
)
=
Frac
K
[
S
]
=
{
p
/
q
:
p
∈
K
[
S
]
,
q
∈
K
[
S
]
,
q
≠
0
}
⊆
L
{\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L}
또한, 만약
S
{\displaystyle S}
L
{\displaystyle L}
K
(
S
)
/
K
{\displaystyle K(S)/K}
체의 확대
M
/
K
{\displaystyle M/K}
K
⊆
L
1
⊆
M
{\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq M}
K
⊆
L
2
⊆
M
{\displaystyle K\subseteq L_{2}\subseteq M}
가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체 (合成體, 영어 : compositum )는
K
(
L
1
∪
L
2
)
⊆
M
{\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M}
유한 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이며, 임의의 원소
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
a
⋅
:
L
→
L
{\displaystyle a\cdot \colon L\to L}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 의 선형 변환 이다. 따라서 그 행렬식 과 대각합 을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름 (體norm, 영어 : field norm )
N
L
/
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}
체 대각합 (體對角合, 영어 : field trace )
T
L
/
K
{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}}
N
L
/
K
:
L
→
K
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K}
N
L
/
K
:
a
↦
det
(
a
⋅
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )}
T
L
/
K
:
L
→
K
{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K}
T
L
/
K
:
a
↦
tr
(
⋅
a
)
{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)}
보다 일반적으로,
a
⋅
{\displaystyle a\cdot }
고유 다항식 을 취할 수 있으며, 이는
K
{\displaystyle K}
일계수 다항식 이다.
χ
L
/
K
(
x
;
a
)
=
det
(
x
−
a
⋅
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]}
이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
χ
L
/
K
(
x
;
a
)
=
x
[
L
:
K
]
−
T
L
/
K
(
a
)
x
[
L
:
K
]
−
1
+
⋯
+
(
−
1
)
[
L
:
K
]
N
L
/
K
(
a
)
{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)}
체 노름과 체 대각합은 최소 다항식 으로도 정의할 수 있다. 임의의
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
최소 다항식 이
p
a
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p_{a}\in K[x]}
중복집합 이
{
σ
1
(
a
)
,
…
,
σ
n
(
a
)
}
∈
K
¯
{\displaystyle \{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}}
N
L
/
K
(
a
)
=
(
∏
i
=
1
n
σ
i
(
a
)
)
[
L
:
K
(
a
)
]
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}}
T
L
/
K
(
a
)
=
[
L
:
K
(
a
)
]
∑
i
=
1
n
σ
i
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)}
만약
L
/
K
{\displaystyle L/K}
분해 가능 확대 라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.
만약
L
/
K
{\displaystyle L/K}
갈루아 확대 라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.
N
L
/
K
(
a
)
=
∏
g
∈
Gal
(
L
/
K
)
g
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)}
T
L
/
K
(
a
)
=
∑
g
∈
Gal
(
L
/
K
)
g
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)}
여기서
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}
갈루아 군 이다.
체의 확대는 항상 단사 함수 이다. (전단사 함수 인 체의 확대는 체의 자기 동형 (영어 : automorphism )이라고 한다.) 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
표수 는 서로 일치한다.
∃
L
/
K
⟹
char
K
=
char
L
{\displaystyle \exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L}
확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
M
/
L
{\displaystyle M/L}
M
/
K
{\displaystyle M/K}
[
M
:
K
]
=
[
L
:
K
]
[
M
:
L
]
{\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]}
trdeg
K
M
=
trdeg
K
L
+
trdeg
L
M
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M}
여기서 좌변은 일반적으로 기수 의 곱 또는 합이다.
초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수 이며, 확대체의 집합의 크기 와 같다. 즉, 초월 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
[
L
:
K
]
=
|
L
|
=
max
{
|
K
|
,
trdeg
K
L
,
ℵ
0
}
≥
ℵ
0
{\displaystyle [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}}
이다.
자명하게
max
{
trdeg
K
L
,
ℵ
0
}
≤
[
L
:
K
]
≤
|
L
|
=
max
{
|
K
|
,
trdeg
K
L
,
ℵ
0
}
{\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}}
이므로,
[
L
:
K
]
≥
|
K
|
{\displaystyle [L:K]\geq |K|}
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
{
1
1
+
a
x
:
a
∈
K
}
⊆
L
{\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L}
는
K
{\displaystyle K}
선형 독립 집합 임을 보이면 족하다. 즉, 임의의
c
0
,
…
,
c
n
−
1
∈
K
{\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K}
a
0
,
…
,
a
n
−
1
∈
K
{\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K}
c
0
1
+
a
0
x
+
⋯
c
n
−
1
1
+
a
n
−
1
x
=
0
{\displaystyle {\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0}
라고 가정하였을 때
c
0
=
⋯
=
c
n
−
1
=
0
{\displaystyle c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0}
임을 보여야 한다.
r
n
−
1
,
i
,
j
=
e
n
−
1
,
j
(
a
0
,
…
,
a
i
−
1
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
−
1
)
(
i
,
j
=
0
,
…
,
n
−
1
)
{\displaystyle r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)}
라고 하자 (
e
n
−
1
,
j
{\displaystyle e_{n-1,j}}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
j
{\displaystyle j}
기본 대칭 다항식 ). 그렇다면 가정은
0
=
∑
i
=
0
n
−
1
c
i
(
1
+
a
0
x
)
⋯
(
1
+
a
i
−
1
x
)
(
1
+
a
i
+
1
x
)
⋯
(
1
+
a
n
−
1
x
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
c
i
∑
j
=
0
n
−
1
r
n
−
1
,
i
,
j
x
j
=
∑
j
=
0
n
−
1
x
j
∑
i
=
0
n
−
1
c
i
r
n
−
1
,
i
,
j
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}}
와 동치 이다 .
x
{\displaystyle x}
∑
i
=
0
n
−
1
c
i
r
n
−
1
,
i
,
j
=
0
(
j
=
0
,
…
,
n
−
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)}
와 동치 이다. 이는
c
0
,
…
,
c
n
−
1
{\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n-1}}
연립 일차 방정식 이다. 따라서, 계수들의 행렬식 이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,
|
r
n
−
1
,
0
,
0
⋯
r
n
−
1
,
0
,
n
−
1
⋮
⋮
r
n
−
1
,
n
−
1
,
0
⋯
r
n
−
1
,
n
−
1
,
n
−
1
|
=
∏
0
≤
i
<
j
≤
n
−
1
(
a
i
−
a
j
)
≠
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0}
이며, 이는
n
{\displaystyle n}
수학적 귀납법 을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다.
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
|
r
n
−
1
,
0
,
0
⋯
r
n
−
1
,
0
,
n
−
1
⋮
⋮
r
n
−
1
,
n
−
1
,
0
⋯
r
n
−
1
,
n
−
1
,
n
−
1
|
=
|
0
r
n
−
1
,
0
,
1
−
r
n
−
1
,
n
−
1
,
1
⋯
r
n
−
1
,
0
,
n
−
1
−
r
n
−
1
,
n
−
1
,
n
−
1
⋮
⋮
⋮
0
r
n
−
1
,
n
−
2
,
1
−
r
n
−
1
,
n
−
1
,
1
⋯
r
n
−
1
,
n
−
2
,
n
−
1
−
r
n
−
1
,
n
−
1
,
n
−
1
1
r
n
−
1
,
n
−
1
,
1
⋯
r
n
−
1
,
n
−
1
,
n
−
1
|
=
(
−
1
)
n
|
(
a
n
−
1
−
a
0
)
r
n
−
2
,
0
,
0
⋯
(
a
n
−
1
−
a
0
)
r
n
−
2
,
0
,
n
−
2
⋮
⋮
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
)
r
n
−
2
,
n
−
2
,
0
⋯
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
)
r
n
−
2
,
n
−
2
,
n
−
2
|
=
(
−
1
)
n
(
a
n
−
1
−
a
0
)
⋯
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
)
|
r
n
−
2
,
0
,
0
⋯
r
n
−
2
,
0
,
n
−
2
⋮
⋮
r
n
−
2
,
n
−
2
,
0
⋯
r
n
−
2
,
n
−
2
,
n
−
2
|
=
(
a
0
−
a
n
−
1
)
⋯
(
a
n
−
2
−
a
n
−
1
)
∏
0
≤
i
<
j
≤
n
−
2
(
a
i
−
a
j
)
=
∏
0
≤
i
<
j
≤
n
−
1
(
a
i
−
a
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}}
즉,
n
{\displaystyle n}
대수적 확대
M
/
K
{\displaystyle M/K}
K
⊆
L
1
,
L
2
⊆
M
{\displaystyle K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M}
:529, Proposition 21
[
K
(
L
1
∪
L
2
)
:
K
]
≤
[
L
1
:
K
]
[
L
2
:
K
]
{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]}
우선,
L
1
/
K
{\displaystyle L_{1}/K}
L
2
/
K
{\displaystyle L_{2}/K}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
2
{\displaystyle L_{2}}
K
{\displaystyle K}
기저
(
a
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}
(
b
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}
(
a
i
b
j
)
i
∈
I
,
j
∈
J
{\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}}
K
(
L
1
∪
L
2
)
{\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})}
K
{\displaystyle K}
선형 생성 함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게
K
(
L
1
∪
L
2
)
=
K
(
{
a
i
}
i
∈
I
∪
{
b
j
}
j
∈
J
)
{\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})}
이다. 또한, 이는 자명하게
K
(
a
i
1
,
…
,
a
i
m
,
b
j
1
,
…
,
b
j
n
)
{\displaystyle K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})}
꼴의 체들의 합집합이다. 모든
a
i
r
{\displaystyle a_{i_{r}}}
b
j
s
{\displaystyle b_{j_{s}}}
K
(
a
i
1
,
…
,
a
i
m
,
b
j
1
,
…
,
b
j
n
)
=
K
(
a
i
1
)
⋯
(
a
i
m
)
(
b
j
1
)
⋯
(
b
j
n
)
=
K
[
a
i
1
]
⋯
[
a
i
m
]
[
b
j
1
]
⋯
(
b
j
n
)
=
K
[
a
i
1
,
…
,
a
i
m
,
b
j
1
,
…
,
b
j
n
]
{\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}}
이다. 마지막으로, 유한 개의
a
i
r
{\displaystyle a_{i_{r}}}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
K
{\displaystyle K}
b
j
s
{\displaystyle b_{j_{s}}}
b
j
{\displaystyle b_{j}}
K
{\displaystyle K}
K
[
a
i
1
,
…
,
a
i
m
,
b
j
1
,
…
,
b
j
n
]
{\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]}
a
i
b
j
{\displaystyle a_{i}b_{j}}
K
{\displaystyle K}
(
a
i
b
j
)
i
∈
I
,
j
∈
J
{\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}}
K
(
L
1
∪
L
2
)
{\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})}
K
{\displaystyle K}
선형 생성 집합 이다.
이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우,
K
(
L
1
∪
L
2
)
/
K
{\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})/K}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
2
{\displaystyle L_{2}}
무한 집합 이므로
[
K
(
L
1
∪
L
2
)
:
K
]
=
|
K
(
L
1
∪
L
2
)
|
=
max
{
|
K
|
,
|
L
1
∪
L
2
|
,
ℵ
0
}
=
max
{
|
L
1
|
,
|
L
2
|
}
{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}
이다. 만약
L
1
/
K
{\displaystyle L_{1}/K}
L
2
/
K
{\displaystyle L_{2}/K}
[
L
1
:
K
]
[
L
2
:
K
]
=
|
L
1
|
|
L
2
|
=
max
{
|
L
1
|
,
|
L
2
|
}
{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}
이다. 만약
L
1
/
K
{\displaystyle L_{1}/K}
L
2
/
K
{\displaystyle L_{2}/K}
[
L
1
:
K
]
≤
|
L
1
|
=
max
{
|
K
|
,
ℵ
0
}
≤
max
{
|
K
|
,
trdeg
K
L
2
,
ℵ
0
}
=
|
L
2
|
{\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|}
이므로
[
L
1
:
K
]
[
L
2
:
K
]
=
[
L
1
:
K
]
|
L
2
|
=
max
{
[
L
1
:
K
]
,
|
L
2
|
}
=
|
L
2
|
=
max
{
|
L
1
|
,
|
L
2
|
}
{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}
이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.
노름은 체의 가역원군 의 군 준동형 을 이룬다. 즉, 임의의
a
,
b
∈
L
{\displaystyle a,b\in L}
N
L
/
K
(
a
b
)
=
N
L
/
K
(
a
)
N
L
/
K
(
b
)
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)}
이며, 만약
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
N
L
/
K
(
a
−
1
)
=
N
L
/
K
(
a
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}}
이다. 또한, 만약 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
M
/
L
{\displaystyle M/L}
N
M
/
K
=
N
L
/
K
∘
N
M
/
L
{\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}}
대수적 수체
K
/
Q
{\displaystyle K/\mathbb {Q} }
대수적 정수
a
∈
O
K
{\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}
∀
a
∈
O
K
:
N
K
/
Q
(
a
)
∈
Z
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z} }
또한, 다음이 성립한다.
∀
a
∈
O
K
:
|
N
K
/
Q
(
a
)
|
=
|
O
K
/
(
a
)
|
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|}
여기서 좌변은 체 노름의 절댓값 이고, 우변은 주 아이디얼 에 대한 몫환 의 크기 이다. 이를 일반화하여,
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
N
K
/
Q
(
a
)
=
|
O
K
/
a
|
{\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|}
로 정의한다.
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
임의의 체
K
{\displaystyle K}
대수적 폐포
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
분해 가능 폐포
K
sep
{\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}
K
{\displaystyle K}
K
0
{\displaystyle K_{0}}
K
0
=
{
F
p
p
=
char
K
>
0
Q
char
K
=
0
{\displaystyle K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}}
여기서
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
p
{\displaystyle p}
유한체 이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
K
0
⊆
K
⊆
K
sep
⊆
K
¯
{\displaystyle K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}}
K
¯
/
K
{\displaystyle {\bar {K}}/K}
임의의 체
K
{\displaystyle K}
유리 함수체
K
(
x
)
=
Frac
K
[
x
]
{\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]}
형식적 로랑 급수체
K
(
(
x
)
)
=
Frac
K
[
[
x
]
]
{\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]}
K
⊊
K
(
x
)
⊊
K
(
(
x
)
)
{\displaystyle K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))}
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[
K
(
x
)
:
K
]
=
ℵ
0
{\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}}
trdeg
K
K
(
x
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1}
[
K
(
(
x
)
)
:
K
]
=
2
ℵ
0
{\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}}
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Q
⊊
R
⊊
C
{\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C} }
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[
R
:
Q
]
=
2
ℵ
0
{\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}
trdeg
Q
R
=
2
ℵ
0
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}}
[
C
:
R
]
=
2
{\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}
trdeg
R
C
=
0
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0}
체의 확대
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
N
C
/
R
:
x
+
i
y
↦
x
2
+
y
2
=
|
x
+
i
y
|
2
{\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}}
이다.
유리수체 의 유한 확대는 수체
Q
(
2
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }
Q
(
−
1
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q} }
원주율
π
{\displaystyle \pi }
자연로그의 밑
e
{\displaystyle e}
초월수 이므로,
Q
[
π
]
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} }
Q
(
e
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q} }
{
π
,
e
}
{\displaystyle \{\pi ,e\}}
Q
(
π
,
e
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q} }
[
Q
(
π
)
:
Q
)
]
=
[
Q
(
e
)
:
Q
]
=
[
Q
(
π
,
e
)
:
Q
]
=
ℵ
0
{\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}}
trdeg
Q
Q
(
π
)
=
trdeg
Q
Q
(
e
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1}
trdeg
Q
Q
(
π
,
e
)
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}}
이차 수체
Q
[
n
]
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }
N
Q
[
n
]
/
Q
:
a
+
n
b
↦
(
a
+
n
b
)
(
a
−
n
b
)
=
a
2
−
n
b
2
{\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}}
이다.
이 부분의 본문은
p진수 입니다.
소수
p
{\displaystyle p}
p진수체
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
Q
⊊
Q
p
⊊
Q
¯
p
⊊
C
p
{\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}}
여기서
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
p진수체 이며,
Q
¯
p
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}
대수적 폐포 이며,
C
p
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
완비화 이다.
C
p
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
체 로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
[
Q
p
:
Q
]
=
2
ℵ
0
{\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}
이 부분의 본문은
유한체 입니다.
소수
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
F
p
⊊
F
p
2
⊊
⋯
⊊
F
p
n
⊊
⋯
F
¯
p
=
lim
→
n
→
∞
F
p
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}}
여기서
F
¯
p
{\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}
대수적 폐포 이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한 을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
[
F
p
n
+
1
:
F
p
]
=
p
{\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p}
[
F
¯
p
:
F
p
n
]
=
ℵ
0
{\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}}
대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
유리 함수체
L
=
Γ
(
X
,
K
X
)
{\displaystyle L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})}
는
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
쌍유리 동치류 는 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
X
{\displaystyle X}
크룰 차원 은
L
/
K
{\displaystyle L/K}
dim
X
=
trdeg
K
L
{\displaystyle \dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L}
이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.
n
{\displaystyle n}
유리 다양체 의 유리 함수체는 순수 초월 확대
K
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}
사영 평면 속의 초타원 곡선 을 생각하자.
y
2
=
p
(
x
)
{\displaystyle y^{2}=p(x)}
여기서
p
(
x
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p(x)\in K[x]}
x
{\displaystyle x}
분기 피복 을 이루며,
x
{\displaystyle x}
올 은
±
p
(
x
)
{\displaystyle \pm {\sqrt {p(x)}}}
2
⌈
(
deg
p
)
/
2
⌉
{\displaystyle 2\lceil (\deg p)/2\rceil }
p
{\displaystyle p}
2
∤
deg
p
{\displaystyle 2\nmid \deg p}
∞
^
{\displaystyle {\widehat {\infty }}}
K
(
x
,
p
(
x
)
)
/
K
{\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K}
로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대
K
(
x
,
p
(
x
)
)
/
K
(
x
)
{\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)}
타원 곡선 의 경우 이 함수체 (타원 함수 체)는 바이어슈트라스 타원 함수 로 다음과 같이 주어진다.
C
(
ρ
,
4
℘
3
+
g
2
℘
+
g
3
ρ
′
)
{\displaystyle \mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')}
이는 바이어슈트라스 타원 함수가
℘
′
2
=
4
℘
3
+
g
2
℘
+
g
3
{\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}
고전 기하학의 작도 는 오직 직선과 원 만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들
Q
=
K
0
⊂
K
1
⊂
K
2
⊂
⋯
⊂
K
n
{\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset K_{n}}
[
K
i
+
1
/
K
i
]
=
2
{\displaystyle [K_{i+1}/K_{i}]=2}
가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 작도 가능한 수 라고 한다.
이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 입방 배적 문제 는
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
Q
(
2
3
)
=
Q
⊕
2
3
Q
⊕
4
3
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{2}}\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{4}}\mathbb {Q} }
이므로
[
Q
(
2
3
)
:
Q
]
=
3
{\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]=3}
이며, 따라서
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
마찬가지로, 원적 문제 는
π
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
원주율 은 초월수 이므로,
π
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
대수적 수 의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 원적 문제 는 풀 수 없다.
각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는
cos
20
∘
{\displaystyle \cos 20^{\circ }}
작도 가능한 수 가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, 삼각 함수 의 세배각 공식
cos
3
θ
=
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
{\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }
을 생각하자. 여기에
θ
=
60
∘
{\displaystyle \theta =60^{\circ }}
1
/
2
=
4
cos
3
20
∘
−
3
cos
20
∘
{\displaystyle 1/2=4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }}
을 얻는다. 즉,
cos
20
∘
{\displaystyle \cos 20^{\circ }}
4
x
3
−
3
x
−
1
/
2
=
0
{\displaystyle 4x^{3}-3x-1/2=0}
x
=
(
y
+
1
)
/
2
{\displaystyle x=(y+1)/2}
y
3
+
3
y
2
−
3
=
0
{\displaystyle y^{3}+3y^{2}-3=0}
아이젠슈타인 판정법 에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉,
[
Q
(
cos
20
∘
)
:
Q
]
=
3
{\displaystyle [\mathbb {Q} (\cos 20^{\circ }):\mathbb {Q} ]=3}
이다.
![{\displaystyle [L:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aece5b0ecef53af76d4af496d68ed1c41532bb79)
![{\displaystyle p\in K[|S|]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d47c0288e19171ee15f0896a652bcb8f0270a2e)
![{\displaystyle K[S]\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd989138d26b208c85ace54dcf26c9988df38a21)
![{\displaystyle K[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527739d0f75b19403512deb18bff6df9c66c14c6)
![{\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea7477713c08e6d6a3f893ae5951951915e06e2)
![{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6086667075b5309b83db71697a31211e5efc242f)
![{\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d605bd7365f6ab03b803f28b22b8ba1cf7285e)
![{\displaystyle p_{a}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06fa926a790bf4c8741be049da51beb5bd4eced)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f115a94b462e652ab07996715c900c2dd031fb6)
![{\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e472c193ae22ea5dc635b68da95b558ec3248355)
![{\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd1da20c2901909c1ded472071958e81a794701)
![{\displaystyle [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a212444231d2c80855e47c713c25d6bef32d14)
![{\displaystyle \max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794907424b40a3b3c7c03935ac9cf8c9cac0622e)
![{\displaystyle [L:K]\geq |K|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96a34e04814c9f96bbbf9b445eed448d0deb8ff)
![{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8e3f566bfa383d72b4dfb43a04a04b213bf00c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d123cc923d9e03e65038b9cf3ef2e03976d6db1)
![{\displaystyle K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2aceb23776d47ecf108da0354f1eb5e84629269)
![{\displaystyle [K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502d6f4ace30fe1268a3a23a7a6405a54532925e)
![{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9bd2dce86a1ca6530881d5eb73443c37e6ebd4)
![{\displaystyle [L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ff7ef8e4feaed8f7c72ac5ab05e6c447493231)
![{\displaystyle [L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459dac87f2c888c08f8c6c5740f2d8790f87a446)
![{\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b4b32e80190d3d4ff9224e4dada7d45588a0de)
![{\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529309eb7bbe359ca85d45926ed3405fed1a8745)
![{\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344d25224550308a14e75e99e9ec8645da21bc5a)
![{\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12b95c22099d799c2a7b1c85d3cdfcf06bff014)
![{\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc8bacc8a6f7c1a79bfc01ca09055a254217deb)
![{\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0d230d77b8b6b954c39a9bd67d9ccb31e5547f)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5b46f067f31738a66d34b329a08442375c0da8)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e00f0b0f49bb032b997e0875ad1ef1c6d367c2d)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d499bed5b0cbd52c0df1337e91a6ce63365a1a)
![{\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30444752bf2e138538657b63242da06c9e337861)
이 부분의 본문은 p진수입니다.
![{\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eade29153e296c81ed2bfbd7163ccc2d8afb0c89)
![{\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e9179d93e44d14460bbdb08ef53731388dcec7)
![{\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feab0de64a960ffbd0c5a94c9964c33b48af6320)
![{\displaystyle p(x)\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a1593b7363ee2924833e9f3f3d40afdc877bf4)
![{\displaystyle [K_{i+1}/K_{i}]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d76f3216c545a3bdd22f10db1bfc1973be1ac11)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{2}}\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{4}}\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c1b6416071d4b431a3f688f18e4c14021f9cb2)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6145819ff3b6438065d066033f25a3012a7f63)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} (\cos 20^{\circ }):\mathbb {Q} ]=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94f0685eb34ec89e293076d45a4cfc53ddb7613)